Cтраница 1
Понятие метрического пространства приводит к важному топологическому понятию, а именно к понятию метризуемого пространства. [1]
Понятие метрического пространства используется во многих приложениях для описания расстояний между объектами. [2]
К понятию метрического пространства мы пришли, сосредоточив наше внимание лишь на одном свойстве множества - наличии расстояния в нем. Аналогичным образом, сосредоточив внимание на операциях в множестве, мы пришли к понятию линейного пространства. Теперь мы рассмотрим линейные пространства с метрикой. [3]
Это обстоятельство приводит к понятию метрического пространства как множества элементов какой угодно природы, на которое накладывается единственное требование: в нем должно быть определено понятие расстояние между элементами. [4]
Заметим вместе с тем, чти построение действительных чисел нельзя рассматривать как частный случай теоремы о пополнении метрических пространств, так как само понятие метрического пространства и доказательство теоремы уже используют действительные числа. [5]
Кантором, установившим понятие предельной точки множества н примыкающие к нему понятия замкнутого множества и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств привело к понятиям метрического пространства и топологического пространства, изучением к-рых занимается общая топология. Наиболее самостоятельное существование ведет дескриптивная теория множеств. [6]
Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства. [7]
Большинство идей, которые используются для анализа и решения уравнений и системы уравнений, связано с методом итераций. Для изложения существа метода и доказательства необходимых теорем используем понятие метрического пространства, и только затем применим все изложенное к тем частным случаям, которые возникают при решении различных видов систем уравнений. [8]
Легко проверить, что все аксиомы метрического пространства выполнены. Таким образом, мы имеем метрическое пространство, составленное из тех же элементов, что и С, но с другим определением расстояния. Поскольку понятие метрического пространства содержит в себе определение расстояния, метрические пространства, хотя и составленные из одних и тех же элементов, но с различными определениями расстояния, следует считать различными. [9]
Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства - одному из важнейших понятий современной математики. Ниже мы изложим основные факты теории метрических пространств и их обобщения - топологических пространств. [10]
Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства - одному из важнейших понятий современной математики. Ниже мы изложим основные факты теории метрических пространств и их обобщения - топологических пространств. [11]
Класс метрических пространств стал первым классом абстрактных пространств, на который был успешно обобщен ряд понятий и результатов, открытых на заре общей топологии при изучении подмножеств вещественной прямой и евклидовых пространств. Класс метрических пространств достаточно обширен и включает в себя много объектов, изучаемых в различных областях математики. Это позволяет описывать эти объекты на геометрическом языке. В то же время пространства этого класса кажутся достаточно простыми, к ним применима геометрическая интуиция. Понятие метрического пространства было введено Фреше в его диссертации [1906], В течение многих лет внимание топологов было приковано к метрическим пространствам и, в частности, к сепарабельным метрическим пространствам. [12]
Мы уже знаем, что развитие геометрии в XIX в. Вместо единственной, обычной е в-к л и д о в о и геометрии появились, с одной стороны, неевклидовы геометрии Лобачевского, а затем и Римана, с другой же - проективная, аффинная, конформная и другие геометрии. Так был постепенно приложен путь к формированию в XX в. Одна из первых работ, посвященных изучению абстрактных пространств, появилась в 1906 г. Она называется О некоторых положениях функционального исчисления и была написана французским математиком Морисом Фреше. Последний дал первое определение понятия общего метрического пространства, сохранившееся по существу до настоящего времени. [13]