Cтраница 1
Понятие асимптотической устойчивости ( в двумерном случае) иллюстрируется на рис. 6.8. В некоторых случаях система может иметь несколько состояний равновесия: если существует только одно состояние равновесия и все свободные движения сходятся к нему, то это состояние называется установившимся ( основным) состоянием. [1]
Понятие асимптотической устойчивости, введенное А. М. Ляпуновым, связано с дополнительным к устойчивости требованием о беспредельном стремлении достаточно близких движений к исследуемому инвариантному множеству. Детальный анализ многих публикаций, затрагивающих свойство притяжения, показывает, что для замкнутых множеств можно выделить несколько заслуживающих внимания определений притяжения. [2]
Распространим теперь понятие асимптотической устойчивости, введенное нами в § 19.5, на случай возмущенного движения. [3]
Аналогичное замечание относится к понятию асимптотической устойчивости. [4]
Говорят, что множество М удовлетворяет понятию асимптотической устойчивости, если оно обладает определенного рода притяжением, а также определенного рода устойчивостью. Из совокупности понятий, указанных в таблицах 6.1 и 6.2, формально можно получить 12 типов асимптотической устойчивости, однако некоторые из них эквивалентны. [5]
Следствие 4.4.2. Для линейной системы с постоянными коэффициентами понятия асимптотической устойчивости и равномерной асимптотической устойчивости эквивалентны. [6]
Понятие устойчивости, которым мы пользуемся, является естественным обобщением понятия асимптотической устойчивости по Ляпунову стационарной точки обыкновенного дифференциального уравнения. [7]
Если рассматривать САУ с переменными параметрами, работающие ограниченный промежуток времени, то понятие асимптотической устойчивости для таких систем практически бесполезно, однако можно указать случаи, когда и для подобных систем такие оценки применяются. [8]
При рассмотрении устойчивости нелинейных систем в дополнение к ранее введенным понятиям устойчивости в малом, в большом и в целом используется еще понятие асимптотической устойчивости. Асимптотическая устойчивость имеет место, если фазовые траектории вблизи начала координат асимптотически стягиваются к нему. Линейные системы могут быть устойчивы только асимптотически, так как у них возможен только один установившийся режим, соответствующий в фазовом пространстве началу координат. Примером неасимптотически устойчивой нелинейной системы является система с зоной нечувствительности и фазовым портретом, показанным на рис. 8 - 11, в. [9]
Ляпунову решения x ( t) желательно потребовать, чтобы все близкие к нему решения x ( t) стремились бы к х ( 1) при - оо. Это приводит к понятию асимптотической устойчивости. [10]
В § 3 рассматриваются вопросы устойчивости решения. Понятие устойчивости, используемое при этом, является естественным обобщением понятия асимптотической устойчивости стационарной точки обыкновенного дифференциального уравнения Вводится понятие отделимости решения, которое оказывается эквивалентным понятию устойчивости и является удобным критерием устойчивости Получены простые достаточные условия устойчивости и единственности устойчивого решения. [11]
Тем не менее асимптотическая устойчивость при исследовании систем с постоянными параметрами имеет фундаментальное значение, так как позволяет определить устойчивость на конечном интервале времени. Это объясняется тем обстоятельством, что характер свободного движения системы с постоянными параметрами не зависит от момента возбуждения системы. Для систем с переменными параметрами понятие асимптотической устойчивости по указанным причинам в общем случае имеет малое практическое значение, так как не позволяет однозначно определить ее поведение на заданном интервале времени. Лишь для класса систем с периодически изменяющимися параметрами асимптотическая устойчивость представляет определенный практический интерес. Однако в некоторых частных случаях критерии устойчивости и качества свободного движения ( переходного процесса) систем с переменными параметрами, подобные критериям для систем с постоянными параметрами, могут быть сформулированы и могут успешно применяться для решения практических задач. Так, для систем с медленно изменяющимися параметрами эти понятия вытекают из самого способа их исследования. [12]