Cтраница 1
Понятие непрерывной функции трактовалось нами так, что его можно перенести на любые многообразия: непрерывное отображение одного многообразия в другом определяется законом, либо ничего не сопрягающим с любой звездой первого многообразия, либо же сопрягающим с ней одну звезду второго; к этому, как и ранее, присоединяется такое же условие включения. Здесь действительно важно оставить открытой возможность сопряжения с ничем, ибо область отображения звезды первого многообразия не должна сводиться к одной единственной звезде второго. Поскольку мы имеем дело с движущейся в некотором континууме переменной, нужно, согласно новой теории, как бы парить над континуумом и нельзя, как ранее, опуститься на отдельную, хотя бы и произвольную точку. Исследователю, привыкшему к прежним методам, подобное требование покажется вначале неудобным, но всякий заметит, как верно передает новый анализ и в этом пункте интуитивный характер континуума. Броуеровская концепция соединяет в себе высочайшую интуитивную ясность со свободой. На того, кто еще сохранил посреди абстрактного формализма математики чувство интуитивной реальности, эта концепция должна действовать как избавление от какого-то тяжелого кошмара. Наконец, укажем еще как совершенно соединяются, взаимно поддерживая и укрепляя друг друга, обе части нового учения: интуитивная адэкватность континуума и логическая позиция по отношению к общим и экзистенциальным суждениям. [1]
Понятие непрерывной функции, корректно сформулированное еще В. [2]
Позже мы увидим, что как само понятие непрерывной функции, так и многие свойства подобных функций поддаются плодотворным и нетривиальным обобщениям. Например, если функция непрерывна во всех точках некоторого интервала, включая его концы, то найдется точка, в которой функция принимает свое наибольшее на интервале значение. То же, разумеется, относится и к наименьшему значению. [3]
Как мы видим, нельзя дать определения понятия непрерывной функции в некотором ограниченном интервале, не принимая вместе с тем в определении равномерной непрерывности и ограниченности Но самое существенное - это то, что в континууме не может существовать никаких других функций, кроме непрерывных. Если в прежнем анализе было возможно построение непрерывных функций, то эго только показывает весьма ясно, как далек он был от понимания сущности континуума. То, что теперь называют прерывной функцией, состоит в действительности ( и по существу это только возврат к более старым взглядам) из нескольких функций в раздельных континуумах. Функция / J ( JC) A: в континууме С есть закон, сопрягающий с каждым двоичным интервалом, обе конечные точки которого положительны, этот же самый интервал. Если, наоборот, мы рассмотрим, две функции: - - 1 в С н - 1 в СГ, то для них совсем не существует определенной в целом континууме С функции, совпадающей в С 1 с одной из них, а в С - - с другой. [4]
Учитывая приведенное выше отождествление, обобщенную функцию можно рассматривать как расширение понятия непрерывной функции. [5]
Весьма существенным для теории Гудстейна является Тот факт, что в определении вводимого им аналога понятия равномерно непрерывной функции примитивно рекурсивные вещественные числа не фигурируют в качестве подлежащих рассмотрению значений аргумента. Это не означает, что при построении теории введенных им функций необходимо избегать рассмотрения значений этих функций в примитивно рекурсивных точках - как уже было упомянуто, любое такое значение может быть построено в виде примитивно рекурсивного вещественного числа. Однако Гудстейн почему-то стремится избегать рассмотрения значений функций в примитивно рекурсивных ( даже в рациональных) точках. Эта тенденция лишает его возможности приблизить к формулировкам классического математического анализа, упростить, а в некоторых случаях и уточнить формулировки некоторых теорем, не выходя при этом за рамки допускаемого его подходом уровня логической сложности утверждений. Примером может служить теорема 2.4 из РА. [6]
Это определение - измеримой функции относится к функциям, заданным на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. Однако если речь идет о функциях, определенных на ( - измеримых подмножествах евклидова пространства К 1, то справедлива следующая теорема. [7]
Например, дельта-функцию Дирака нельзя отождествить ни с какой непрерывной функцией; это будет доказано в § 2.4. Следовательно, понятие обобщенной функции существенно расширяет понятие непрерывной функции. Далее мы покажем, что это расширение включает также широкий класс разрывных функций. [8]
Определение измеримой функции, данное в самом начале этого параграфа, относится к функциям на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. [9]
Однако дело обстоит не так просто, как кажется с первого взгляда. В теореме используется строгое понятие непрерывной функции ( определение 4 § 2.2), поэтому ее утверждения не являются самоочевидными фактами и требуют доказательства. [10]
X и У позволяет ввести понятие непрерывной функции /: X - - У. X - У, вводится понятие дифференцируемой функции. [11]
Приведенные примеры объясняют нам4 общее понятие непрерывной ф у н к ц и и вещественного переменного. Подобная функция определяется не произвольным законом, сопрягающим с становящейся интервальной последовательностью другую становящуюся интервальную последовательность, а таким законом, по которому из каждого двоичного интервала ( как скоро он берется достаточно малым) порождается интервал. Это вполне соответствует тому смыслу, который придается понятию непрерывной функции в приложениях математики: раз аргумент задан с известной степенью точности - а в приложениях математики он никогда не дается иначе, - то становится известным с соответственной степенью точности и значение функции. Поэтому непрерывные функции суть лишь замаскированные functiones discretae, и лишь в силу этого в анализе может быть построена общая теория непрерывных функций. Непрерывная функция определяется законом ср, порождающим из всякого двоичного интервала / такой же интервал ср ( i), или же ничего. К этому присоединяется еще закон, порождающий из всякого интервала / натуральное число nit именно, закон такого рода: если / есть какой-либо двоичный интервал, а п-натураль - ное число г -, то я-ный из двоичных интервалов, содержащихся внутри /, порождает согласно закону ср некоторый интервал ( именно интервал, а не ничего), содержащийся внутри ср ( г), если ср ( г) существует. [12]