Понятие - эргодичность
Cтраница 1
Понятие эргодичности тесно связано с другим важным понятием. [1]
Понятие эргодичности легко модифицируется для дискретного времени. Для этого нужно операцию интегрирования по t заменить на операцию суммирования, при которой t принимает значения из множества Z или его подмножества. [2]
В настоящей работе понятие эргодичности оставляется в стороне. Мы отказываемся от принятия эргодической гипотезы: она одновременно и недостаточна и не необходима для статистики. Мы исходим из понятия движений размешивающегося типа. В работе показывается, что необходимое механическое условие для применимости статистики заключается в требовании того, чтобы в фазовом пространстве системы все области, начиная с некоторых, достаточно больших областей, деформировались с течением времени так, чтобы при сохранении объема - по теореме Лиувилля - их части распределялись по всему фазовому пространству ( точнее, слою заданных значений однозначных интегралов движения) все более и более равномерно. Далее, устанавливается критерий, которому должна удовлетворять потенциальная энергия системы для того, чтобы осуществлялось такое размешивание и показывается, что во всех случаях практически важных сил взаимодействия этот критерий будет выполнен. [3]
Различным интерпретациям подвергается также и понятие эргодичности. В математической литературе понятие эргодичности включает в себя различные формы перемешивания. Существуют процессы с сильным перемешиванием и процессы со слабым перемешиванием. Различие между этими формами ( если судить о нем по математическим трудам) может показаться весьма незначительным и далеким от реальных природных феноменов. [4]
Теперь мы можем точно сформулировать понятие эргодичности. [5]
Важное значение в теории случайных процессов имеет понятие эргодичности. Случайный процесс называется эргодиче-ским, если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству возможных реализаций, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равна временному среднему, полученному путем усреднения за достаточно большой промежуток времени одной реализации случайного процесса. [6]
Различным интерпретациям подвергается также и понятие эргодичности. В математической литературе понятие эргодичности включает в себя различные формы перемешивания. Существуют процессы с сильным перемешиванием и процессы со слабым перемешиванием. Различие между этими формами ( если судить о нем по математическим трудам) может показаться весьма незначительным и далеким от реальных природных феноменов. [7]
В простейшем случае закон больших чисел является следствием независимости и равнораспределенности. В этом случае мы имеем дело с постоянными источниками и постоянными каналами - наиболее легко исследуемыми объектами теории информации. В более сложном случае закон больших чисел следует из стационарности и эргодичности. Понятие эргодичности является достаточно сложным. Его трудно ввести, не опираясь на теорию меры и оставаясь в рамках обычной математической подготовки технических вузов. Поэтому авторам пришлось прибегнуть к искусственному приему - дать нестандартное определение эргодического процесса ( источника), которое по существу является следствием эргодичности и представляет собой ослабленный вариант эргодической теоремы. [8]
При анализе непрерывных случайных процессов обычно предполагают, что данный процесс относится к категории стационарных эргодических случайных процессов. Такие процессы характеризуются тем, что одна единственная бесконечная реализация процесса несет всю информацию о его вероятностных свойствах и может быть использована для определения любой его характеристики путем усреднения по времени. С практической точки зрения эргодичность процесса позволяет в ходе исследования одного источника сигнала ( одного объекта) получить полное представление о свойствах определенного класса объектов. В этом смысле понятие эргодичности является некоторым эквивалентом понятия представительности выборки в классической математической статистике. [9]
 |
Изменение формы области, занятой изображающими точками ансамбля, по мере приближения ансамбля к состоянию равновесия. [10] |
Размешивающимися, по определению Н. С. Крылова, являются системы, обладающие тем свойством, что любая область фазового пространства сколь угодно малой величины и произвольной формы, занятая изображающими точками ансамбля изолированных систем, стремится с течением времени к равномерному распределению по поверхности заданной энергии. Для размешивающихся систем траектории, идущие из двух близких точек, быстро удаляются, так что с течением времени вся энергетическая поверхность вначале грубо, а затем все мельче оказывается изрезанной фазовыми траекториями. Очевидно, системы, размешивающиеся в указанном смысле, являются одновременно эргодическими, для них равны средние повремени и фазовые средние. Однако понятие размешиваемости является более широким, чем понятие эргодичности. [11]
Следует отметить, что приведенное определение эргодичности не является единственно возможным и общепринятым. Так, Э. И. Цветков [61] определяет стационарный процесс аналогично определению, данному выше, а эргодическим называет такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации. При таком определении возможно существование нестационарного, но эргодического процесса. Стационарность и эргодичность становятся двумя независимыми признаками случайного процесса. Желание распространить понятие эргодичности на нестационарные процессы обосновано ввиду необходимости построения замкнутой системы определений в теории измерений вероятностных характеристик случайных процессов. [12]
Страницы: 1