Cтраница 1
Понятия интеграла и общего интеграла, строго говоря, нуждаются в дополнительных разъяснениях. Но мы не будем этим заниматься, поскольку наиболее естественной основой теоретического исследования дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения при заданном начальном условии. Нахождение общего интеграла, что мы делали выше для уравнений частного вида, является, конечно, весьма удобным практическим способом построения решений дифференциальных уравнений. [1]
Что касается понятия интеграла, то мы в ближайшем параграфе увидим, что оно не связано даже с предположением непрерывности интегрируемой функции, а может быть распространено на широкие классы функций, имеющих разрывы. [2]
Понятие ряда Фурье зависит от понятия интеграла; главная роль здесь принадлежит интегралу в смысле Лебега ( стр. Именно в связи с теорией рядов Фурье и был изобретен интеграл Лебега, а методы лебеговской теории интегрирования помогли решить многие проблемы этой теории. [3]
Хотя Архимед в явной форме не вводил ни понятия интеграла, ни понятия предела, но его метод по существу совпадает с методом интегрального исчисления. [4]
Хотя Архимед в явной форме не вводил пи понятия интеграла, пи понятия предела, но его метод по существу совпадает с детчдом Интегрального исчисления. [5]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, в к-ром изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений. [6]
Мы более систематично продвигались бы вперед, если бы сразу начали прямо с введенного здесь понятия интеграла. Но выбранный нами путь, по-видимому, имеет свои преимущества: он более легок для понимания. Общее изложение отпугивало бы читателя уже одним тем, что поставленные в самом начале условия I - V были бы ничем не мотивированы, так сказать, свалились бы с неба. [7]
Мы рассматривали до сих пор работы, посвященные строению произвольных измеримых функций, а также обобщению понятия производной и понятия интеграла. Однако для теории функций одной из важных задач является изучение тех или иных специальных классов функций и их связи друг с другом. Например, класс функций абсолютно непрерывных представляет значительный интерес, так как абсолютная непрерывность есть характеристическое свойство неопределенного интеграла Лебега. Таким образом, естественно изучить более детально этот класс функций. [8]
Именно так вводилось понятие несобственного интеграла в гл. Мы видим, таким образом, что в случае существования первообразной для g ( x) понятие несобственного интеграла ничем не отличается от понятия интеграла от ограниченной функции. [9]
Несмотря на указанное здесь ограничение материала, его все еще остается очень много. Когда в 1915 году Н. Н. Лузин написал свою замечательную диссертацию Интеграл и тригонометрический ряд м - 91 [ М-10 ], где им был решен и поставлен целый ряд существенных проблем, он отметил, что понятие ряда Фурье не есть понятие вполне определенное и устойчивое, но всецело зависит от понятия интеграла. Принимая в формулах Фурье, все более и более общее определение интеграла ( Коши, Римана, Дирихле, Гарнака, Лебега, Данжуа), мы расширяем все более и более класс тригонометрических рядов Фурье. В настоящей книге под словами ряд Фурье я всегда буду понимать ряд Фурье-Лебега. [10]
Если же принять определение интеграла, как предела интегральных сумм, то доказательство существования примитивной проводится просто. При таком подходе формула Ньютона-Лейбница была впервые доказана Коши. С другой стороны, существование примитивной у непрерывной функции, которое не использовало бы понятия интеграла, впервые было получено А. [11]