Cтраница 1
Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов. Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики. Число 3 не связано неразрывно с каким-либо определенным содержанием. Оно может относиться и к трем планетам, и к трем рублям, и к трем социальным группам. Точно так же методы, изложенные в этой книге, применимы и в физике, и в экономике, и в социологии. Они помогают предсказывать и затмения, и инфляцию, и рост населения. [1]
Какие понятия математики считаются определяемыми и какие неопределяемыми и что значит определить то или иное понятие в математике. Какие истины математики должны быть доказываемы, а какие принимаются без доказательства, и в чем состоит сущность доказательств в математике. [2]
Переменные и постоянные - понятия математики и логики. В математике они определяются обычно как величины, к-рые принимают различные значения, либо, соответственно, сохраняют одно и то же значение. Систематическое их применение ведет начало от Декарта. В математической логике переменные обычно употребляются при формулировке законов логики, аксиом и правил вывода логических исчислений, что подчеркивает их общий характер. Переменные в логике в этом случае обозначают произвольные постоянные объекты ( высказывания, предметы, предикаты); такие переменные наз. Но в логических исчислениях переменные могут рассматриваться и просто как особым образом определенные объекты; такие переменные наз. Знаки логических операций, кванторы и др. составляют логические постоянные. [3]
Трудно переоценить значение высшей математики в системе знаний образованного человека. Методы, понятия математики позволяют моделировать практически все наблюдаемые, исследуемые явления в жизни человека. Строгость построения математической теории является классическим примером построения логически совершенной теории. Изучение математической теории дисциплинирует саму систему мышления человека, прививает навыки самостоятельного логического мышления. [4]
С помощью понятия производной легко определяются многие понятия математики и естествознания. [5]
Тем не менее я выбрал именно математику в качестве предмета обсуждения в оставшейся части этой работы отчасти потому, что мы понимаем ее лучше, но главным образом из-за того, что существующее предубеждение против программирования как академической науки привело бы к слишком сильному сопротивлению со стороны аудитории. Я полагаю, что сошел бы и какой-нибудь другой предмет, о выводы и понятия математики являются самыми точными и в наименьшей степени подвержены запутывающему влиянию эмоций. [6]
Вся буржуазная философия математики в настоящее время представляет собой одностороннее раздувание ее абстрактной, умозрительной стороны. Энгельс в свое время писал о том, что, какими бы абстрактными ни казались понятия математики, в них всегда отображается объективная реальность. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. [7]
На первый взгляд, понятие множества кажется очень естественным и действительно простым. В своей практике люди испокон веков имели дело с различными множествами конкретных, а иногда и абстрактных предметов. Но понятие множества в теории множеств столь обще и абстрактно, что из него выводимы все понятия математики. [8]