Cтраница 1
Первоначальные понятия о тепловом состоянии тел возникли в результате тех субъективных ощущений, которые нагретые тела могут вызывать. Эти ощущения определяются сложным комплексом фактов, относящихся не только к телу, степень нагретости которого мы определяем, но и к воспринимающему органу, каковым чаще всего является кожа рук. [1]
Первоначальные понятия о координационной связи связаны с именами Вернера и Сиджвина. Координационная связь может осуществляться, если привязываемый атом способен принять или отдать два спаренных алектрона. [2]
В данной главе мы рассмотрим только первоначальные понятия теории дифференцируемых многообразий. [3]
Кислоты и основания являются типичным примером того, как видоизменяются первоначальные понятия по мере экспериментального исследования все более новых фактов. Определения кислоты и основания ранее противопоставлялись друг другу и объяснялись различным взаимодействием окислов неметаллов и окислов металлов с водой. [4]
Рассматриваются только интегралы по винеровскому процессу, так как именно этот случай играет основную роль в дальнейшем. Некоторые первоначальные понятия теории случайных процессов содержатся в Дополнении В. [5]
Автор в сущности надеется, что первоначальные понятия теории множеств читателю уже знакомы. Но, чтобы не отпугнуть читателя, незнакомого с этими понятиями, мы изложим в приложении 2 те сведения о множествах, на которые будем опираться в дальнейшем. [6]
Естественно, что в книге не затронуты многие направления современной математической логики. Некоторые темы лишь намечены, для них приведены лишь самые первоначальные понятия и результаты. Так, например, аксиоматическая теория множеств ( § 7 части II) занимает мало места, хотя в действительности все задачи из части 1 могут быть решены в рамках теории ZF. [7]
Одно соображение я уже подчеркивал, и относительно этого теперь все согласны, а именно, то, что здесь речь идет о первоначальных основных понятиях и предложениях, которые следует непременно предпослать геометрии, чтобы вообще иметь возможность проводить на их основе чисто логическим путем математические доказательства. Но такая установка не дает еще ответа на вопрос о том, откуда же собственно происходят эти первоначальные понятия и предложения. Прежняя точка зрения заключалась в том, что они непосредственно даны в интуиции каждого человека и обладают столь очевидной простотой, что никто не может в них сомневаться. Однако такой взгляд был в сильной степени поколеблен открытием неевклидовой геометрии, ибо этим было как раз показано, что пространственная интуиция и логика никоим образом не приводят к евклидовой аксиоме параллельности как к чему-то обязательному, но что, принимая противоречащее ей допущение, приходим тоже к геометрической системе, логически замкнутой в себе и достаточно точно изображающей реальные ( фактические) отношения. Но, несомненно, все же остается возможность рассматривать эту аксиому параллельности как такое допущение, которое позволяет самым простым способом изображать реальные пространственные отношения. Это приводит к такому общему положению: основные понятия и аксиомы являются не просто фактами интуиции, но целесообразно подобранными идеали-зациями этих фактов. Уже резко очерченное понятие точки не существует в непосредственном чувственном созерцании ( интуиции), но является лишь воображаемым пределом, к которому мы можем приближаться с нашими представлениями о маленькой части пространства, никогда, однако, его не достигая. [8]
Во второй половине прошлого столетия возникла тенденция к формализации аксиоматических систем. Эта тенденция предполагает абстрагирование от интуитивного содержания теоретических положений. Первоначальные понятия уже не разъясняются независимо от аксиом. При этом они теряют статус непосредственно очевидных предложений. [9]
Термины в математике вводятся с помощью утверждений, которые называются определениями и служат для введения новых понятий. Как правило, определение нового понятия производится через старые, т.е. через ранее определенные. Однако существуют первоначальные понятия, которые только поясняются и даются с первоначальными недоказуемыми утверждениями. [10]
К нелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область математики, как вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII - XVIII вв. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения. В этой главе мы изложим некоторые первоначальные понятия, относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий. [11]
Здесь мы начинаем исследовать новую руководящую идею, возникшую в области тепловых явлений. Однако невозможно разделить науку на отдельные несвязанные разделы. В самом деле, мы скоро увидим, что введенные здесь новые понятия тесно переплетаются с понятиями, уже известными, и с понятиями, которые мы еще встретим. Ход мыслей, развитый в одной ветви науки, часто может быть применен к описанию явлений, с виду совершенно отличных. В этом процессе первоначальные понятия часто видоизменяются, чтобы продвинуть понимание как явлений, из которых они произошли, так и тех, к которым они вновь применены. [12]