Cтраница 4
Все введенные понятия допускают обобщение па случай условных вероятностей. [46]
Поясним кратко введенные понятия. [47]
Объясним введенные понятия сходимости. [48]
Попробуем проанализировать введенные понятия более подробно в случае, когда k равно миллиону. В 1000000-распреде-ленной двоичной последовательности будут попадаться отрезки, состоящие из миллиона нулей. Аналогично этому, в 1000000-рас-пределенной на [ О, 1) последовательности будут попадаться отрезки длиной в миллион, состоящие из чисел, каждое из которых меньше половины. Правда, такие отрезки будут попадаться в среднем только в ( 1 / 2) 100000в доле случаев, но важно то, что они существуют. Легко себе представить, какую реакцию вызовет такой набор из миллиона истинно случайных чисел, использованный в вычислительном эксперименте; возникнут веские основания для жалобы на датчик случайных чисел. С другой стороны, если в последовательности чисел никогда не попадаются серии из миллиона U, каждое из которых меньше 1 / 2, она не случайна и не будет годиться для других теоретически возможных приложений, в которых входными данными служат чрезвычайно длинные серии U. Подытоживая, можно сказать, что в истинно случайной последовательности должна присутствовать локальная неслучайность. Локальная неслучайность необходима в одних приложениях, но недопустима в других. Мы вынуждены заключить, что ни одна последовательность случайных чисел не может отвечать требованиям, предъявляемым всеми приложениями. [49]
Очевидно, что введенные понятия нельзя непосредственно применить к молекулам с бесконечным радиусом действия, так как у них о со, Для таких молекул формально понятия длины пробега и частоты столкновения можно ввести, если в определение (4.1) и (4.2) подставить эффективные сечения типа (3.16) предыдущего параграфа. [50]
И все же введенные понятия и доказанные теоремы HOCHf скорее алгебраический, чем геометрический характер. При рассмотрении примера 12.1 это выразилось в том, что мы фиксировали в плоскости Я ( или пространстве 2) некоторую точку О и рассматривали только векторы ( направленные отрезки), исходящие из точки О ( или, как говорят, связанные векторы), а в качестве подпространств рассматривали только прямые и плоскости, проходящие через О. Все это вовсе не диктуется геометрическими свойствами плоскости ( или пространства); напротив, геометрически все точки равноправны, и наделение одной точки О исключительными свойствами представляется несколько искусственным. Кроме того, для геометрии характерно рассмотрение не только векторов, но и точек; рассмотрение не только прямых и плоскостей, проходящих через О, но также прямых и плоскостей, не проходящих через эту точку. [51]
В общем случае введенные понятия не связаны друг с другом. Например, гипербола на плоскости является квазиизометрической, но не квазигеодезической. Нетрудно построить квазигеодезическую кривую, которая имеет счетное множество участков, где она сволосоиднича-ет и, следовательно, не является квазиизометрической. Аналогично, вообще говоря, введенные понятия не связаны со свойством гиперповерхности иметь асимптотическое направление и ограниченно отклоняться от соответствующего представителя. Однако для слоев слоений между этими понятиями связь имеется. [52]
Заметим, что введенные понятия являются, если можно так выразиться, более абстрактными, чем те, с которыми мы встречались до сих пор. Они называются, соответственно, пространствами Гильберта и Банаха. Исследование многих задач существенно упрощается, если удается показать, что они связаны с одним из названных пространств. Ниже мы разъясним сказанное на примерах. [53]
Посмотрим, что дают введенные понятия в случае регулярного модуля. [54]
Приведенные ниже примеры иллюстрируют введенные понятия. [55]