Cтраница 1
Пополнение метрического пространства ( X, р) есть компакт в том и только том случае, если ( X, р) - вполне ограниченное пространство. [1]
Пополнение метрического пространства - пополнение относительно последовательности Коши. [2]
Пополнением метрического пространства ( X, рх) называется полное метрическое пространство ( У, ру) такое, что ( X, р) является его всюду плотным подпространством. [3]
Любые два пополнения метрического пространства изометричны. [4]
Предложение 1 § 1 определяет структуру пополнения метрического пространства. [5]
Доказать, что с точностью до изометрических про странств пополнение метрического пространства единственно. [6]
Так как изометричные метрические пространства с точки зрения теории метрических пространств считаются одинаковыми, то любое метрическое пространство, изометричнсе ( У, ру), тоже будем называть пополнением метрического пространства ( X, рх) и пополнение пространств), изометричного X, будем считать пополнением X, Как будет поксюапо и § 18, из общих соображений следует, что пополнение метрического пространства, если оно существует, единственно с точностью до изоморфизма. [7]
Так как изометричные метрические пространства с точки зрения теории метрических пространств считаются одинаковыми, то любое метрическое пространство, изометричнсе ( У, ру), тоже будем называть пополнением метрического пространства ( X, рх) и пополнение пространств), изометричного X, будем считать пополнением X, Как будет поксюапо и § 18, из общих соображений следует, что пополнение метрического пространства, если оно существует, единственно с точностью до изоморфизма. [8]
Куратовский в [1933] доказал теоремы 4.3.3, 4.3.10 и 4.3.13; в [1930] он обнаружил, что условие теоремы Кантора достаточно для полноты. Пополнение метрического пространства было описано Хаусдорфом в [1914] ( единственность была отмечена в [1927]); конструкция Хаусдорфа ( см. задачу 4.5.6) связана с теорией вещественных чисел Кантора-Мерэ. Теорема 4.3.24 легко следует из факта, установленного Лаврентьевым в [1924] ( для подмножеств евклидовых пространств - Мазуркевичем в [1916]), что свойство быть 06-множеством в полном пространстве топологически инвариантно. Теорема 4.3.26 была доказана Чехом в [1937]; из нее следует, что теорема Бэра о категории имеет место для всех пространств, метризуемых полной метрикой ( ср. [9]
Нетрудно видеть, что Х0 - всюду плотное подмножество X. Иными словами, пополнение метрического пространства Х0 - это полное метрическое пространство, содержащее Х0 в качестве всюду плотного подмножества. [10]
В рассматриваемом случае это будет действительное число, ассоциированное с определенной выше сходящейся последовательностью Коши, а все другие последовательности Коши будем считать эквивалентными ей в рассматриваемом выше смысле. Используя определение расстояния, этот же процесс применяют для пополнения произвольного метрического пространства, если дана плотность совокупности точек в нем. [11]
Другую реализацию гильбертова пространства можно получить, взяв функциональное пространство С2 [ а, Ь ] и рассмотрев его пополнение. Действительно, легко проверить, что пополнение R всякого евклидова пространства R ( в том смысле, как мы определили пополнение метрического пространства в § 3 гл. [12]
Значительный вклад в разработку теории метрических пространств внес Феликс Хаусдорф ( 1868 - 1942), который аналогично Кантору построил пополнение произвольного метрического пространства. [13]
Замечание 4.4. Свойство полноты имеет фундаментальное значение для многих рассуждений, проводимых в последующих главах. Пространство, не являющееся полным, может быть пополнено так называемыми особыми элементами так, чтобы оно стало полным. Эта процедура аналогична процедуре пополнения пространства рациональных чисел иррациональными числами. Однако в общем случае трудно определить характер этих особых элементов. Довольно простой и интуитивно ясный случай пополнения метрического пространства мы встретим в гл. [14]