Cтраница 1
Любая сходящаяся последовательность ограничена. [1]
А применимо для любой сходящейся последовательности. Предположим теперь, что условие ( а) не выполняется. [2]
Множество замкнуто, если предел любой сходящейся последовательности его элементов принадлежит этому множеству. [3]
Следующие два свойства являются общими для любых сходящихся последовательностей. [4]
Замечательно, что в теории обобщенных функций любую сходящуюся последовательность или ряд можно почленно дифференцировать. Таким образом, в теории обобщенных функций снимаются все классические предосторожности, связанные с дифференцированием последовательностей и рядов. [5]
Тогда либо алгоритм останавливается в подходящей точке, либо предел любой сходящейся последовательности является подходящей точкой. [6]
Отсюда следует, что допустимая область S должна вместе с любой сходящейся последовательностью содержать и ее предел. Такую область называют замкнутой. [7]
Пространство последовательностей а называется сходяще-замкпутым по отношению к данному определению сходимости, если с-предел любой сходящейся последовательности из а принадлежит ос. [8]
Когда из sn - s ( sn S) следует т - s, то говорят, что преобразование сохраняет предел на S, или просто сохраняет предел, если s, есть любая сходящаяся последовательность. В последнем случае, когда из sn - - s всегда следует т - 8, преобразование ( 4) часто называют регулярным. [9]
Ясно, что замкнутое множество содержат все свои предельные точки. Однако в определении замкнутого множества мы говорили о любых сходящихся последовательностях, в которых, в частности, члены последовательности могут совпадать со своим пределом. Легко видеть, что определение получится равносильным, если замкнутым назвать множество, содержащее все свои предельные точки. [10]
В терминах сходящихся последовательностей метрического пространства формулируются многие свойства пространств и отображений. Например, множество Y С X является замкнутым, если для любой сходящейся последовательности точек хп С Y предел XQ limn ooXn также принадлежит множеству Y. [11]
Докажем, что X является замкнутым. Напомним, что множество является замкнутым, если оно содержит предельную точку любой сходящейся последовательности, элементы которой принадлежат данному множеству. [12]
Модифицируя пространство X предыдущего примера, определим счетное совершенно нормальное пространство, не являющееся секвенциальным. Легко показать, что сходящиеся последовательности в У суть почти константы. Таким образом, множество У 0 вместе с любой сходящейся последовательностью содержит и ее предел. Так как У 0 не замкнуто, то У не является секвенциальным пространством. [13]
У - сходится к тому же пре делу и, что и иг 2) сходимость Vr - - и должна быть по определенному критерию лучше сходимости иг - - и. Может случиться, что последовательность иг не является сходящейся, а последовательность Vr, определенная с помощью (5.181), сходится. Обычно преобразования fr выбираются так, чтобы для сходящихся последовательностей иг из иг - - и вытекало Vr - и. Если преобразования fr обладают этим свойством и определены для любой сходящейся последовательности, то они называются регулярными. [14]