Cтраница 1
Постон и Стюарт в своей фундаментальной монографии по теории катастроф [11] подробно рассмотрели траектории расщепления двукратной критической нагрузки и нашли соответствующие физические расщепляющие параметры; Шэффер и Голубицкий [183] рассмотрели влияние граничных условий на моды в закритическом поведении прямоугольных пластин. [1]
Рисунки в книге Вудкока и Постона [20], выполненные вычислительной машиной, были получены на основе совершенно другого метода, который мы вкратце здесь опишем. [2]
Сложная неустойчивость упругой пластинки, теряющей устойчивость одновременно по двум модам, обсуждается Постоном и Стюартом в их замечательной книге [11], где они определяют физические параметры, необходимые для построения соответствующей катастрофы двойной сборки. [3]
Исследовать форму поверхности (9.7) можно, беря сечения при фиксированных а; мы получим семейство кривых, типичные представители которых изображены на рис. 9.5. В результате становится ясно, что бифуркационное множество имеет такой вид, как показано на рис. 9.6. Имеется линия самопересечения ( вдоль которой функция имеет две различные точки перегиба, соответственно двум кускам плоскости складок), она имеет форму параболы с вершиной в начале; вторая половина параболы, иногда называемая усом, не входит в бифуркационное множество, но ответственна за некоторые свойства над полем комплексных чисел ( см. об этом у Постона и Стюарта [25], стр. [4]
Приведенный выше многочлен /, у которого все 20 корней вещественны, помещается над той частью бифуркационного множества, где все корни вещественны - над самым внутренним карманом каспоида. Вуд-кока и Постона [20], иллюстрирует на примере А1 тот факт, что этот карман оказывается в типичном случае очень малым; из других картинок в той же книжке видно, что этот карман также и очень непрочный и имеет тенденцию совсем пропадать при изменении управляющих параметров. Значит, малое возмущение какого-либо коэффициента вполне может вывести / из этой области, при этом некоторые вещественные корни станут комплексными. Когда два вещественных корня сходятся и образуют комплексно-сопряженную пару, по меньшей мере один из них должен пройти больше половины начального расстояния между ними, поэтому можно ожидать, что смещения корней будут такого порядка величины. Но малость этой области означает, что и самих таких многочленов немного. Аналогичные замечания относятся и к высшим катастрофам от нескольких существенных переменных. [5]
Параболическая омбилика - вещь, бесспорно, более хитрая, достаточно сказать, что в первом издании книги Тома 111 в ее описании имеются мелкие неточности. Ее геометрия подробно исследована Шансинером [45] и Годвином 1461, а уВудкока и Постона 120 ] приведены рисунки, выполненные вычислительной машиной. [6]
Параметр в каждом случае родствен двойному отношению. Они лежат в основе катастроф двойной сборки. Подробности см. у Стюарта и Постона [25], стр. [7]
Поскольку неравенства составляют неотъемлемую часть математики, используемой в биологических и социальных науках ( популяции или химические концентрации не могут быть отрицательными; в предыдущем параграфе радиус территории не мог быть меньше чем min; самое большее N автомобилей в час может пройти по данному отрезку шоссе), бифуркации в соответствующих задачах оптимизации обязательно будут встречаться с такими критическими точками. В нелинейном программировании, как именуется вычислительный аспект задач, экстремумы чаще всего встречаются на границе. В отсутствие специальных условий типа симметрии или линейности мы снова можем перечислить типичные явления, которых можно ожидать в r - параметрических семействах при различных г. Полное изложение будет дано у Питта и Постона [158]; здесь мы лишь иллюстрируем возникающие в этом случае виды катастроф с ограничениями. [8]
В этой главе мы изложим основные принципы дифференциального исчисления многих переменных, с подчеркнуто геометрической точки зрения. И на этот раз большинство читателей окажутся знакомыми с значительной частью материала в той или иной форме, однако скорее всего не в столь геометричной, как здесь. Мы предполагаем знание основ анализа функций одной переменной. Доказательства приводимых ниже результатов, как правило, опущены; их можно найти у Додсона и Постона [5] или у Спивака [8] ( принятая в этих книгах точка зрения сходна с нашей) или во многих других стандартных руководствах. [9]
В отличие от случая х у ул кубический член хгу не гарантирует, что мы можем убить высшие члены. Поэтому нам приходится ввести в рассмотрение член четвертого порядка. К счастью, нет необходимости описывать аналог браслета омбилик для квартик ( форм четвертого порядка) ( хотя это и было проделано, см. Стюарт и Постона [ 251, стр. Дело в том, что, хотя пространство квартик и пятимерно, в нашем случае в игру входит лишь одна размерность и мы можем ограничиться проводимым ниже алгебраическим анализом. [10]
Экономическая невыгодность передвижения на большое расстояние для работы в поле соответствует невыгодности далеких полетов в поисках нектара. Если мы допустим, что в течение значительных периодов времени удерживаются лишь такие схемы размещения населения, которые локально максимизируют экономическую выгоду ( гипотеза о рационально-экономическом человеке), то применима геометрия из § 3 гл. На самом деле все рассуждения и обсуждения были проведены сначала именно для этого случая, а не для пчел. Поэтому постепенные гладкие изменения плодородия почвы или численности населения или же медленные внешние влияния ( проникновение и внедрение новой техники или новых агротехнических методов и сельскохозяйственных культур) вынуждают население, максимизирующее свою выгоду, осуществлять внезапные изменения. У Ренфри и Постона [159] это обсуждение распространено на преимущества, связанные с обороноспособностью, на неэкономические преимущества более легкого сбора гражданских и церковных налогов, а также на переселения с равнин на холмы и наоборот. Предположения, аналогичные предположениям ( а) и ( Ь) из § 2 гл. [11]
Физически эта сложность как будто влечет за собой такие последствия. Для выпучивания по типу стандартной сборки мы получаем с помощью обычного анализа совершенное ( светлые линии на рис. 13.40 ( а)) и несовершенное ( жирные линии) поведение. Несовершенство, связанное с наклоном установки, равно как и те несовершенства, что были рассмотрены для двойственной сборки в § 11, могут вызвать выпучивание щелчком при возрастании нагрузки ( рис. 13.40 ( Ь)), причем максимальная величина сначала линейно возрастает с несовершенством. Но даже и при наклоне большинство историй нагрузки не будет содержать такого прощелкивания; на рис. 13.40 ( с) оно имеет место лишь для средней линии, проходя через острие. Вероятность скачка не нуль, но и не велика. Однако вблизи составной точки выпучивания, которую мы рассматривали, вещи устроены гораздо тоньше. Анализ, проведенный у Мэгнуса и Постона [125], показывает, что в то время как скачки могут оставаться редкими для грубых экспериментов ( где, по-видимому, доминируют линейные несовершенства), усовершенствование экспериментальной техники делает скачки моды все более и более частыми. Система ведет себя тем менее, а не тем более гладко, чем больше стараний было приложено. [12]