Cтраница 1
Построение арифметики также не вызывает затруднений. Но чтобы не повторяться, мы изложим его так, будто § Арифметика мощностей находится у читателя под руками. [1]
Мы приступаем к построению арифметики кардинальных чисел. [2]
Теперь мы переходим к построению арифметики в множестве сечений. [3]
Так что Бурали-Форти для своего построения арифметики натуральных чисел на фундаменте абстрактной теории множеств понадобилось ввести новое предложение, которое, как оказалось впоследствии, недоказуемо без аксиомы выбора ( см.: Цермело [ 3, с. Куратовский и Мостов-ский [ 1, с. Пеано и в разработке которого он сам принял активное участие. Он явно подчеркивает его новизну хотя бы тем, что при изложении арифметики особым знаком выделяет те ее предложения, которые зависят от введенной им аксиомы ( для этого против соответствующего предложения он ставит знак [ I ]), - таких предложений у него двенадцать. [4]
Однако такой аксиоматический строго логический путь построения арифметики, как и любой другой математической дисциплины, не может быть приемлем в школе. [5]
Теоремы, которые будут получены в этом параграфе, играют ключевую роль при построении арифметики кардинальных чисел. [6]
Наконец, приводимые в последнем параграфе простейшие арифметические свойства системы целых чисел не только используются в дальнейшем, но и являются прототипом для построения аналогичной арифметики в более сложных алгебраических системах. [7]
Довольно распространено мнение, что аксиомы, сформулированные Пеано [5] в 1889 г., а фактически содержавшиеся в работе Дедекинда [3], достаточны для построения не только элементарной арифметики, но в общем-то и теории чисел. Что дело обстоит далеко не так и что при действительном построении арифметики натуральных чисел на основе аксиом приходится прибегать к предположениям, не содержащимся в пеановской аксиоматике, - это далеко не новость. Мы увидим, что при развертывании системы арифметики прибегали, в частности, к аксиоме выбора не только в конечных ее версиях, о которых шла речь в разд. Это тоже не новость, и по существу об этом говорил Цермело в цитате, приведенной на с. Факт использования Дедекиндом одной из бесконечных версий был отмечен еще в 1895 г. Беттацци [ 2, с. Тем не менее, видимо, под воздействием известной переоценки аксиоматического метода в первой половине XX в. Теперь, пожалуй, специалисты далеко не разделяют такое мнение и, в частности, при изложении арифметики в аксиоматизированном виде нередко формулируют явно ту или иную версию аксиомы выбора или же ее эквивалента, а иногда вводят некоторые предположения, которые хотя и не являются, кажется, известными версиями этой аксиомы, но тесно связаны, на наш взгляд, с нею. [8]
Открытие рефлексивного парадокса, состоящего в том, что понятие класса всех классов, которые не являются членами самих себя, является противоречивым, привело к возникновению трех новых направлений в математике. Эта теория привела к значительным усложнениям в построении арифметики, ибо она исключала не только парадоксы, но также и некоторые конструкции, лежащие в основе теории вещественных чисел, такие, как наименьшая верхняя граница ограниченного класса чисел, а восстановление возможности этих конструкций вызвало необходимость введения аксиомы, связывающей с пропозициональной функцией ( пропозициональной формой с одной переменной), аргумент которой имеет своей областью изменения объекты данного типа, некоторую пропозициональную форму с теми же истинностными значениями, аргумент которой имеет своей областью изменения объекты первого типа. [9]