Cтраница 4
Наглядно это можно представить следующим образом: возьмем резиновое кольцо и будем помещать его на жесткий обруч. Отображение с п 1 - это отображение, изображенное на рис. 7.4 ( 6); п - 1 получится, если резиновое кольцо положить вверх ногами. Отображение с п 2 получится, если сделать из резинового кольца восьмерку, сложить ее, как показано на рис. 7.4 ( в), а затем положить на обруч. Построение отображений с более высокими п очевидно. [46]
То обстоятельство, что при использовании отображения Пуанкаре размерность векторов состояния, с которыми приходится работать, уменьшается на единицу, иногда очень полезно. Проводя рассуждения в терминах отображения Пуанкаре, можно получать заключения очень общего характера, применимые и к системам, описываемым дифференциальными уравнениями, как автономными, так и неавтономными, и к рекуррентным отображениям - динамическим системам с дискретным временем. Замечательно, что процедура построения отображения Пуанкаре перестала быть уделом теоретиков и часто применяется как один из инструментов при экспериментальном исследовании динамики нелинейных систем. [47]
Перейдем к рассмотрению проблемы отображения трансформации операций, когда Ss и St соответствуют различным моделям данных. В обоих случаях отображение описывается в терминах параметризованных абстракций операций для каждой модели. Следует отметить, что так же как и для трансляции схем, формальные методы построения отображений развиты очень мало. Охарактеризуем отображение трансформации операций на примере построения отображений между реляционной, сетевой и иерархической моделями. [48]
Лишь для небольшого числа моделей нейронных сетей существует строгое математическое обоснование возможности их применения для решения конкретных практических задач. В наибольшей степени теоретически проработаны двухслойные нейронные сети с сигмоидальными передаточными функциями. Колмогорова-Арнольда доказано, что такие сети могут реализовывать любые отображения входного сигнала в выходной. К построению многопараметрических отображений сводится большинство задач распознавания, управления, идентификации. [49]
В типичном случае осциллятора с одной степенью свободы, при приближении управляющего параметра к значению, критическому для хаотического движения, возникают субгармонические колебания. Явление внезапной перестройки движения при изменении параметра называется бифуркацией. На рис. 4.5 приведен пример экспериментальной бифуркационной диаграммы. Такие диаграммы получаются в эксперименте с помощью временной выборки измерений движения, как при построении отображения Пуанкаре, и отображения этой выборки на осциллографе, как показано на рис. 4.5. Здесь по горизонтальной оси откладывается величина управляющего параметра, например амплитуда или частота возбуждения, а по вертикальной - значения координаты из временной выборки. По сути дела эта диаграмма описывает целую серию экспериментов, каждый из которых проводится при определенном значении управляющего параметра. Такую диаграмму можно получить довольно быстро, если есть возможность автоматического изменения управляющего параметра, например с помощью компьютера и преобразователя цифрового сигнала в аналоговый. [50]
Это позволяет естественным образом установить соответствие между точками границы многоугольника дР и точками окружности С. Для; каждой ВС - или СС-пары видимости в Р, порождаемой алгоритмом вычисления пар видимости, соединим соответствующие точки некоторой кривой, лежащей внутри окружности С. Кривые будем проводить таким образом, чтобы они нигде не пересекались, за исключением концевых точек. Двойственный граф областей, входящих в Р, дает естественный и конструктивный способ реализации этой операции. Обрабатывая вершину двойственного графа, степень которой равна единице, мы должны провести кривую между двумя точками, лежащими на С. Эта кривая разбивает круг на две части, одна из которых может быть исключена из рассмотрения на последующих этапах построения отображения. Таким образом, полное построение требуемой совокупности кривых может быть осуществлено в результате последовательной обработки с удалением вершин двойственного графа, имеющих степень, равную единице, выполняемой до тех пор, пока двойственный граф не станет пустым. [51]