Cтраница 1
Построение теории действительных чисел, основывающееся на таком их определении, называется аксиоматическим, а свойства I-V - аксиомами действительных чисел. [1]
Для построения теории действительных чисел удобно установить единообразную запись чисел. Такой записью являются бесконечные десятичные дроби, с которыми вы встречались еще в V классе. [2]
Обычно считается, что построение теории действительных чисел возможно без обращения к аксиоме выбора. Так, Феферман, фактически применяя ее ( например, [ 1, с. Мы не склонны разделять такое мнение, но не настаиваем здесь на этом. [3]
Конструкция в доказательстве теоремы аналогична построению теории действительных чисел. Если в качестве сходного пространства X взять множество рациональных чисел Q с метрикой р ( х, у) х-у, то построенное в теореме множество Z есть множество иррациональных чисел. [4]
Надо сказать, что принципиально возможно дать определение действительного числа как бесконечной десятичной дроби, но в такое определение обязательно должно входить описание действий с бесконечными дробями. Такой путь построения теории действительного числа оказывается вовсе не простым, и в школе он подробно не рассматривается. [5]
Парадоксы приведенного типа легко преодолеваются в современной математической модели непрерывного движения. И все же ситуация, отраженная в парадоксе, достаточно глубока. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в которой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры. В нестандартном анализе решающую роль играет именно неархимедовское упорядоченное поле - нестандартная действительная прямая. [6]
Парадоксы приведенного типа легко преодолеваются в современной математич. И все же ситуация, отраженная в парадоксе, достаточно глубока. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в к-рой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры. [7]
В курсе излагаются как традиционные классические методы математического анализа, так и современные, которые возникли в последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксиоматически. Этот путь дает возможность наиболее компактно и полно изложить необходимые для анализа сведения о числах. Вместе с тем он и логически наиболее совершенен, ибо при других, так называемых конструктивных, методах построения теории действительных чисел ( когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби или сечения в области рациональных чисел, или классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому существования ( непротиворечивости) множества действительных чисел, что, правда, далеко не всегда отмечается в учебниках. Поскольку же при построении теории действительных чисел использование аксиом неизбежно, то проще всего их сразу сформулировать и перейти к изучению математического анализа в собственном смысле слова. [8]
В курсе излагаются как традиционные классические методы математического анализа, так и современные, которые возникли в последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксиоматически. Этот путь дает возможность наиболее компактно и полно изложить необходимые для анализа сведения о числах. Вместе с тем он и логически наиболее совершенен, ибо при других, так называемых конструктивных, методах построения теории действительных чисел ( когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби или сечения в области рациональных чисел, или классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому существования ( непротиворечивости) множества действительных чисел, что, правда, далеко не всегда отмечается в учебниках. Поскольку же при построении теории действительных чисел использование аксиом неизбежно, то проще всего их сразу сформулировать и перейти к изучению математического анализа в собственном смысле слова. [9]
Парадоксы приведенного типа легко преодолеваются в современной математич. Как показывает подробный анализ, существенную роль в их преодолении играет выполнение в поле действительных чисел так наз. И все же ситуация, отраженная в парадоксе, достаточно глубока. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в к-рой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры. В нестандартном анализе решающую роль играет именно неархимедовское упорядоченное поле - нестандартная действительная прямая. [10]