Cтраница 3
Таким образом, задача об обобщении всего круга теорем, связанных со вторым методом Ляпунова, на системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом запаздывающего и нейтрального типов в основной части решена полностью. Тем не менее практическое применение этих теорем осложняется отсутствием сколько-нибудь общих методов построения функционалов - функ-цио налов Ляпунова - Красовского, обладающих нужными свойствами. [31]
Можно отметить, что существует связь между этими двумя направлениями на основе применения специальных конструкций для кинетических уравнений. Например, интеграл энергии используется как для получения энергетических оценок в теоремах существования, так и для построения функционалов Ляпунова и вириальных тождеств в анализе устойчивости и неустойчивости специальных классов решений уравнения Власова. [32]
Вариационные принципы, порождающие системы уравнений гидродинамики, используются как при исследовании задач математической физики, так и для построения численных методов решения таких задач. Этапы создания принципов отражены в публикациях [1-20] и в цитированных в них работах. Усилия в этой области направлены, с одной стороны, на построение интегральных функционалов, аккумулирующих в себе уравнения конкретных задач, а с другой стороны, - на достижение общности вариационных принципов. [33]
В главе 9 мы отмечали, что статистическая теория крупномасштабных ( гидродинамических) флуктуации служит основой для описания процессов переноса в окрестности критической точки. За последние тридцать лет в теории фазовых переходов и критических явлений был достигнут существенный прогресс, но до сих пор даже наиболее микроскопические методы в критической динамике [30, 82] являются, по существу, феноменологическими. Эти методы, основанные на стохастических уравнениях переноса типа уравнений Ланжевена, которые обсуждались в разделе 9.2.3, позволяют вычислить так называемые динамические критические индексы для наиболее сильно расходящихся коэффициентов переноса. По-видимому, здесь требуются новые принципы построения функционала энтропии для нелинейных флуктуации, основанные на методе статистических ансамблей. [34]
Все же уточнение фундаментальных понятий и разработка общих строгих методов остаются наиболее важным направлением на ближайшее будущее. Следует ожидать развития теории устойчивости деформируемых твердых тел, которая по строгости и общности соответствовала бы классической теории Ляпунова. По-видимому, можно возлагать большие надежды на теорию Ляпунова, распространенную на случай метрических функциональных пространств. Если для упруго-пластических, вязко-упруго-пластических систем, а также для упругих систем, нагруженных непотенциальными силами, удастся найти способы построения функционалов, аналогичных функциям Ляпунова в классической теории устойчивости, то мы получим новые эффективные и строгие методы для исследования конкретных задач. [35]
Действительно плодотворным является иной подход, последовательно учитывающий информационные аспекты рассматриваемой обратной задачи. Характер таких информационных фрагментов и способы их включения в постановку задачи могут быть весьма разнообразными. Процедуру их использования в широком смысле слова называют регуляризацией задачи. Так, сравнительно неплохие результаты, которые экспериментаторы время от времени получали на базе тех или иных стихийных методов, объяснялись регуляризацией, хотя часто и не вполне осознанной. Принципы отбора моделей и построения функционалов сложности, введенные А. Н. Тихоновым - тоже регуляризация, только последовательная, ясно формулируемая и учитывающая особенности реального эксперимента. Что же касается нередко встречающихся до сих пор попыток решить некорректную задачу за счет чисто математических ухищрений, без каких-либо дополнительных априорных данных, то они эквивалентны деятельности по созданию perpetuum mobile, производящего информацию из ничего. [36]