Cтраница 1
В-бимодуль V, удовлетворяющий этому условию, будем назы -, вать праворядным. [1]
А становится В-бимодулем, если положить Ь - аЬ р ( b - j) ap ( ftj для любых а 6 A, bi, ft, 6 В. [2]
Пусть А и В - некоторые - алгебры и М - произвольный Л - В-бимодуль. При хеЛ определим отображение Кх: М - - М формулой Кхи хи. Аналогично при у В определим р: М - М, положив руи иу. [3]
Предварительно отметим, что если В - подалгебра в Л, а М - некоторый Л - бимодуль, то М является также В-бимодулем. [4]
Если А R, то алгебра В является Л - сепарабельной в том и только том случае, если она сепарабельнакак / - алгебра. В самом деле, структура В-бимодуля на - В & А В В В, которая была определена в § 9.5, совпадает со структурой В-бимодуля на Ве В В, которая происходит из структуры правого Ве-модуля, получающейся из операции умножения. Другими словами, как В-бимодули В В и Ве совпадают. [5]
Для нас наиболее важен тот случай, когда N является - алгеброй В, которая содержит Л в качестве подалгебры. Тогда В можно, очевидно, рассматривать как Л - В-бимодуль. [6]
Тогда алгебра А изоморфна факторалгебре тензорной алгебры Т ( V) В-бимодуля V по некоторому правильному идеалу. [7]
Предположим, что М - правый - модуль, N - некоторый Л - В-бимодуль и Р - правый В-модуль. [8]
Если А R, то алгебра В является Л - сепарабельной в том и только том случае, если она сепарабельнакак / - алгебра. В самом деле, структура В-бимодуля на - В & А В В В, которая была определена в § 9.5, совпадает со структурой В-бимодуля на Ве В В, которая происходит из структуры правого Ве-модуля, получающейся из операции умножения. Другими словами, как В-бимодули В В и Ве совпадают. [9]
В этом параграфе мы кратко познакомимся с одним понятием, обобщающим понятие сепарабельного расширения в теории полей. Если В - некоторая - алгебра, a A - ее подалгебра, то В можно рассматривать как В - Л - бимодуль и как Л - В-бимодуль. Следовательно, по лемме 9.5 а тензорное произведение В 8л В является В-бимодулем, или, что эквивалентно, правым Ве-моду-лем, где, как обычно, Ве В В. [10]
Если А R, то алгебра В является Л - сепарабельной в том и только том случае, если она сепарабельнакак / - алгебра. В самом деле, структура В-бимодуля на - В & А В В В, которая была определена в § 9.5, совпадает со структурой В-бимодуля на Ве В В, которая происходит из структуры правого Ве-модуля, получающейся из операции умножения. Другими словами, как В-бимодули В В и Ве совпадают. [11]
В этом параграфе мы кратко познакомимся с одним понятием, обобщающим понятие сепарабельного расширения в теории полей. Если В - некоторая - алгебра, a A - ее подалгебра, то В можно рассматривать как В - Л - бимодуль и как Л - В-бимодуль. Следовательно, по лемме 9.5 а тензорное произведение В 8л В является В-бимодулем, или, что эквивалентно, правым Ве-моду-лем, где, как обычно, Ве В В. [12]