Cтраница 1
Замена умножений сложениями сама по себе может не казаться жизненно важной, но если мы не в состоянии досконально понять нечто столь простое, то нам тем более следует ожидать серьезных затруднений с чем-то более сложным. [1]
Оно может быть получено заменой умножения сложением и использованием р-х корней вместо корней яьй степени. Никаких других изменений в доказательстве не требуется. [2]
Оно может быть получено заменой умножения сложением и использованием, - х корней вместо корней п-ц степени. Никаких других изменений в доказательстве не требуется. [3]
Умножение первым способом сводится к замене умножения многократным сложением множимых. Этот способ целесообразно применять только при однозначном сомножителе. [4]
При устном и письменном умножении используют такие приемы сокращения, как рациональное расположение сомножителей, замена сложных двузначных сомножителей простыми ( или однозначными) и замена умножения сложением или делением. [5]
Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией - сложением. [6]
При практическом применении преобразования Лапласа операции ведутся пе над заданными функциями, а над их изображениями, подобно тому как при умножении вычисления ведутся часто не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией - сложением. Весь процесс преобразования Лапласа можно представить себе как перевод с одного языка на другой. При таком переводе каждому слову одного языка соответствует определенное слово другого языка. Совершенно так же при преобразовании Лапласа каждой функции пространства оригиналов соответствует определенная функция с пространстве изображений. Роль словаря, необходимого для перевода с одного языка на другой, при преобразовании Лапласа играет таблица соответствий между оригиналами и изображениями. Несколько самых необходимых соответствий мы привели в § 3, в значительно большем количестве они даны в приложении, помещенном в конце книги. В применении к случаю преобразования Лапласа это означает следующее: если над функцией, например, в пространстве оригиналов производится какая-либо операция, например, дифференцирование или интегрирование, то в пространстве изображений этой операции должна отвечать вполне определенная другая операция. Аналогичным образом, если в пространстве оригиналов несколько функций комбинируются одна с другой, например перемножаются, то в пространстве изображений такой комбинации должна отвечать вполне определенная другая комбинация. [7]
Непера, которыми долгие годы пользовались для умножения многозначных чисел на однозначные. Заслуживают внимания и предложенные в 1892 г. Прюво-ле - Гюэ счетные бруски, а Эггисом - карманный автоматический прибор для умножения, в котором, однако, был использован тот же способ1) замены умножения действием сложения, что и для палочек Непера. [8]
Таким образом, преобразование Адамара соответствует разложению по периодическим функциям прямоугольной формы в отличие от преобразования Фурье, предусматривающего разложение по синусоидальным и косинусоидальным компонентам. Главным преимуществом преобразования Адамара является замена умножений комплексных величин изменениями знаков - существенное обстоятельство для первого периода развития вычислительной техники, когда арифметические устройства с плавающей запятой были малодоступны. Во всех остальных отношениях это преобразование позволяет получать точно такие же результаты, как и преобразование Фурье. [9]
Непера, которыми долгие годы пользовались для умножения многозначных чисел на однозначные. Значительный интерес представляют изобретенные Иофе в России в 1881 г. особые бруски, при помощи которых, в отличие от палочек Непера, произведение любого многозначного числа на однозначное получается непосредственно, а умножение на них многозначных чисел на многозначные сводится к легко выполнимому суммированию готовых отдельных произведений. Заслуживают внимания и предложенные в 1892 г. П р ю в о - л е - Г ю э счетные бруски, а Эггисом - карманный автоматический прибор для умножения, в котором, однако, был использован тот же способ 1) замены умножения действием сложения, что и для палочек Непера. [10]
Здесь задействованы только три умножения половинной длины вместо четырех, которые, казалось бы, нужны. При большом значении п такое сведение может очевидным образом применяться снова и снова для меньших чисел. За эта приходится платить увеличением количества сложений. Штрассен недавно показал, что для умножения двух матриц rriy m число умножений можно свести до 0 ( т1ое27), хотя всегда было принято считать, что это число должно быть кубическим полиномом от т, потому что результат содержит т2 членов и для каждого из них вроде бы требуется отдельное внутреннее произведение с т перемножениями. В обоих: случаях обычная интуиция длительное время вводила математиков в заблуждение, настолько пагубное, что, по-видимому, никто и не искал лучших методов. Мы все еще не располагаем набором проверенных методов, которые точно устанавливали бы, какова минимальная цена замены умножений сложениями в случае матриц. [11]