Cтраница 1
Каноническая замена переменных, близкая к тождественной. [1]
Построенная каноническая замена переводит исходный гамильтониан в новый так: И. [2]
Многообразие канонических замен в плоскости ( it, v) всех рассматриваемых замен представляет собой окружность единичного радиуса. [3]
Итак, канонические замены применяются для улучшения гамильтонианов. [4]
Термин первообразная канонической замены переменных в настоящих лекциях введен впервые. [5]
По лемме Каратеодори любая каноническая замена переменных может быть превращена в стандартную несколькими каноническими перестановками. [6]
Отметим, что если мы допускаем произвольные канонические замены переменных в фазовом пространстве, то тогда любая - вполне интегрируемая гамильтонова система решается разделением переменных: для этого достаточно перейти к переменным действие - угол. В такой общей постановке задача о существовании разделенных канонических координат по существу эквивалентна задаче о наличии полного набора инволютивных интегралов. [7]
Основное свойство переменных действие-угол заключается в том, что каноническая замена / ( у. [8]
Случаи 2) и 3) можно не различать, так как после канонической замены х - - х, у - - у соответствующие гамильтонианы переходят друг в друга. [9]
Таким образом, мы сначала делаем замену переменных в гамильтониане, потом дифференцируем, но не преобразуем сами уравнения. Этим канонические замены выгодно отличаются ют произвольных. [10]
Широкое распространение в теории канонических систем получил метод нормализации гамильтониана в окрестности равновесного решения ( положения равновесия), который, в сущности, является специальным методом замены переменных. К первоначальной канонической системе применяется такая каноническая замена переменных, чтобы в новых обобщенных координатах и импульсах функция Гамильтона имела наиболее простой вид, который и принято называть нормальной формой гамильтониана возмущенного движения. [11]
Задание частных производных гамильтониана 11 ( х, у в: ( 60) означает на самом деле выписывание нового гамильтониана в более простом аналитическом виде, чем первоначальное его-выражение. В принятой терминологии можно сказать, что каноническая замена переменных ( х, у) - ( х, у) является нормализующим преобразованием [161], а гамильтониан ( 67) имеет нормальную форму. Преобразование гамильтонианов к более простой форме называется нормализацией гамильтонианов. Естественно, термин более простая форма гамильтониана достаточно неопределенный, поэтому можно говорить о различных методах нормализации гамильтонианов и гамильтоновых систем - Наиболее известный классический метод был предложен Дж. [12]
Поскольку найденное условие каноничности замены содержит ограничения на производные от уравнений замены, то оно носит название локального критерия каноничности. Локальный критерий каноничности выделяет в множестве всех дифференцируемых замен многообразие второго порядка канонических замен. [13]
Уже отмечалось, что состояния равновесия гамильтоновой системы - - это критические точки гамильтониана. Hk - сумма членов степени k, то гамильтониан Н2 даст линейные уравнения, являющиеся приближением для исходных. Сейчас мы увидим, как канонические замены позволяют улучшать качество приближения. [14]