Cтраница 1
Праудмен и Пирсон [49] установили, что решение Озеена нужно рассматривать как равномерно справедливое нулевое приближение решения уравнений Навье - Стокса при малых числах Рейнольдса. Если обозначить решение уравнения Озеена через ( v0, p0), то Праудмен и Пирсон указали, что это поле, а не поле Стокса, примененное в методе возмущений типа Уайтхе-да, должно привести к удовлетворительному начальному приближению для описания инерционных эффектов при малых числах Рейнольдса. Вследствие сложной структуры уравнений Озеена этот подход, наверное, не может быть продолжен далее. В некотором смысле Праудмен и Пирсон отстаивали другой метод возмущений для решения уравнений Навье - Стокса при малых числах Рейнольдса. Этот метод сингулярных возмущений, схематически более сложный, чем комбинированный метод Уайтхеда - Озеена, более удобен на практике. При его помощи удается получить приближенные поля возмущений, равномерно справедливые во всем объеме жидкости, и определить подходящие решения, которые локально справедливы в отдельных областях вблизи и вдали от тела. Это - внутреннее и внешнее решения, каждое из которых единственным образом определяется асимптотическим сращиванием этих решений в области их общей справедливости. [1]
Эту формулу впервые использовал для практических целей, по-видимому, Праудмен. [2]
Можно не сомневаться, что вычисленные таким методом количественные характеристики течений более полны и надежны, чем результаты вычислений по формуле (5.2), использовавшейся впервые Праудменом. В ГГИ с помощью формулы (5.3) получены достаточно детальные сведения о средней скорости сейшевых течений для нескольких крупных водоемов. Они сопоставлялись также с данными исследований на пространственных гидравлических моделях и оказались вполне приемлемыми для практического использования, что показано ниже. [3]
При числах Рейнольдса N-RQ aUp / ц, вплоть до 0 05 сопротивление по закону Стокса только на 2 % меньше, чем ожидаемое более точное значение, полученное Праудменом и Пирсоном [49] на основе строгих разложений уравнений Навье - Стокса по малому числу Рейнольдса, в которых принимаются во внимание инерционные члены. В тех случаях, когда в задачу входит более одной характерной величины, число Рейнольдса может быть значительно больше единицы, но по-прежнему можно пренебречь инерционными членами. Например, в соответствии с экспериментальными данными Мак-Ноуна и др. [37] для сферы, расположенной на оси кругового цилиндра, заполненного вязкой жидкостью, диаметр которого мало отличается от диаметра сферы, числа Рейнольдса для сферы должны стать порядка 70, для того чтобы влияние инерционных членов стало заметным. [4]
Строгое обоснование этого результата получено Праудменом и Пирсоном [49] методами сингулярных возмущений. [5]
Праудмен и Пирсон [49] установили, что решение Озеена нужно рассматривать как равномерно справедливое нулевое приближение решения уравнений Навье - Стокса при малых числах Рейнольдса. Если обозначить решение уравнения Озеена через ( v0, p0), то Праудмен и Пирсон указали, что это поле, а не поле Стокса, примененное в методе возмущений типа Уайтхе-да, должно привести к удовлетворительному начальному приближению для описания инерционных эффектов при малых числах Рейнольдса. Вследствие сложной структуры уравнений Озеена этот подход, наверное, не может быть продолжен далее. В некотором смысле Праудмен и Пирсон отстаивали другой метод возмущений для решения уравнений Навье - Стокса при малых числах Рейнольдса. Этот метод сингулярных возмущений, схематически более сложный, чем комбинированный метод Уайтхеда - Озеена, более удобен на практике. При его помощи удается получить приближенные поля возмущений, равномерно справедливые во всем объеме жидкости, и определить подходящие решения, которые локально справедливы в отдельных областях вблизи и вдали от тела. Это - внутреннее и внешнее решения, каждое из которых единственным образом определяется асимптотическим сращиванием этих решений в области их общей справедливости. [6]
Некоторые авторы, такие, как известные Эриксен и Ривлин [17], Олдройд [42], Нол л [41] и Грин и Ривлин [20], ввели простые теоретически оправданные нелинейные модели, связывающие тензор напряжений с тензором скоростей деформаций в неньютоновских жидкостях. Модель Эриксена и Ривлина применялась для медленных течений неньютоновских жидкостей Касуэллом и Шварцем [11] при помощи метода сращиваемых разложений, предложенного Праудменом и Пирсоном [49], с учетом соответствующих неньютоновских членов как во внутренних, так и во внешних разложениях. [7]
Пирсоном [27], уравнения Озеена обычно неверно приближают поле течения вблизи самих сфер. По этой причине относиться к приводимым ниже теоретическим результатам Озеена для задачи о двух сферах следует с подозрением. Бреннер [4] х), используя метод Праудмена и Пирсона, показал, каким образом можно получить сопротивление частицы произвольной формы по Озеену, если известно ее сопротивление по Стоксу. В этом методе, однако, классические уравнения Озеепа не используются для описания поля скорости в окрестности частицы. [8]
Этот результат называется теоремой Тейлора - Праудмена. Движение будет тогда целиком двумерным и может быть представлено как движение столбиков, каждый из которых ориентирован параллельно оси вращения и не меняет эту ориентацию в процессе движения. Эти столбики чаще всего называют столбиками Тейлора и реже столбиками Праудмена. [9]
В оригинальном решении Озеена рассматривается случай двух сфер произвольных размеров, однако в окончательных соотношениях член, дающий инерционную поправку, пропорционален произведению агаг радиусов сфер. Отсюда следует, что нельзя получить инерционной поправки, если любое из значений ах или а2 обращается в нуль. Этот вывод, конечно, несостоятелен и обусловлен, по-видимому, тем, что в действительности в случаях, когда сферы находятся относительно далеко друг от друга, нужно сопрягать граничные условия отдельно на каждой из двух сфер и на бесконечности, как это делается в процедуре сращивания Праудмена и Пирсона, обсуждавшейся в разд. [10]