Cтраница 2
Книга состоит из трех глав. Глава I посвящена в основном классу ВА ограниченно арифметических предикатов. Эти предикаты предложены А.В.Кузнецовым [15] в 1961 г. и представляют собой ограниченный вариант известных арифметических предикатов. [16]
Арифметизация метаматематики будет закончена в § 52 путем отображения обобщенной арифметики в обычную арифметику натуральных чисел. Оба результата будут вытекать из того, что некоторые арифметические предикаты, получающиеся путем отображения из метаматематических предикатов, являются примитивно-рекурсивными. [17]
В содержательном понимании арифметический предикат представляет собой произвольный ( не обязательно конструктивно определенный) предикат на множестве всех целых неотрицательных чисел. Построенная нами формальная арифметическая система дает способ конструктивного задания некоторых арифметических предикатов. [18]
Интерпретациями, или как мы назвали - конкретизация-ми свойств, являются арифметические предикаты на множестве геделев-ских номеров формул. Однако тот факт, что в этих логиках могут быть представлены только предикаты и притом только на множестве геделевских номеров формул, а не на всей предметной области, является нежелательным ограничением. В дальнейшем мы расширим указанный язык так, чтобы в нем были выразимы термы и кванторы. Но сначала мы распространим этот подход на предикаты на всей предметной области. [19]
Из счетности множества всех систем Е равенств мы можем и без помощи рассматриваемой теории заключить, что обще-рекурсивные предикаты образуют счетное множество, а потому счетно и множество всех предикатов формы ( Ey) R ( x, у) с рекурсивным R. Следовательно, согласно результатам Кантора ( § 2), ими не могут, исчерпываться все арифметические предикаты. [20]
Вводятся и исследуются ограниченно арифметические и рудиментарные предикаты. Устанавливаются канонические представления предикатов. Доказывается, что класс ограниченно арифметических предикатов совпадает с классом рудиментарных предикатов. [21]
Книга состоит из трех глав. Глава I посвящена в основном классу ВА ограниченно арифметических предикатов. Эти предикаты предложены А.В.Кузнецовым [15] в 1961 г. и представляют собой ограниченный вариант известных арифметических предикатов. [22]
Соединив два терма знаком равенства, получим некоторое высказывание, истинное или ложное в зависимости от того, верно или неверно указанное равенство. Все подобные высказывания составляют набор так называемых элементарных формул формальной арифметики. Если в составляющих высказывание термах содержатся переменные, то оно ( это высказывание) будет представлять собой некоторый предикат, который естественно назвать элементарным арифметическим предикатом. Из подобных элементарных предикатов с помощью операций ( узкого) исчисления предикатов ( включая операции связывания кванторами) строятся более сложные арифметические предикаты. Все предикаты, которые можно построить таким способом, называются арифметическими по Геделю. [23]
Соединив два терма знаком равенства, получим некоторое высказывание, истинное или ложное в зависимости от того, верно или неверно указанное равенство. Все подобные высказывания составляют набор так называемых элементарных формул формальной арифметики. Если в составляющих высказывание термах содержатся переменные, то оно ( это высказывание) будет представлять собой некоторый предикат, который естественно назвать элементарным арифметическим предикатом. Из подобных элементарных предикатов с помощью операций ( узкого) исчисления предикатов ( включая операции связывания кванторами) строятся более сложные арифметические предикаты. Все предикаты, которые можно построить таким способом, называются арифметическими по Геделю. [24]
В настоящее время имеется довольно много классов элементарных функций. Некоторые из них определены 40 - 50 лет назад и заняли прочное положение в теории рекурсивных функций. Все эти классы имеют индуктивные определения и замкнуты относительно операции суперпозиции и некоторых других эффективных операций. В предлагаемой читателю книге изучаются следующие классы элементарных функций: класс функций, элементарных по Сколему, класс функций, элементарных по Кальмару, начальные классы иерархии Гжегорчика и классы, обобщающие классы Гжегорчика. Кроме того, подробно исследован класс ограниченно арифметических предикатов, который представляет собой фундамент для большинства классов элементарных функций. [25]
Модальные логики первоначально предназначались для формализации языковых модальностей, но в последнее время это понятие стало включать любые расширения классической логики дополнительными операциями, играющими роль логических связок. Для таких логик в первую очередь решаются задачи построения моделей, проблема разрешимости и другие внутренние задачи. Однако, кроме этих задач, большой интерес представляет вопрос о выразительных возможностях пропозициональных модальных логик. Разумеется, в любом бесконечном языке можно выразить сколь угодно сложные понятия и отношения, но для этого может потребоваться сложная и неестественная интерпретация. Поэтому, когда мы говорим о выразительных возможностях пропозициональных языков, то мы имеем в виду только содержательно естественные интерпретации. Начало этой проблематики восходит к Геделю, который использовал модальную логику как модель интуиционистской логики, а также для представления предиката доказуемости в арифметике. Представление арифметических предикатов в пропозициональных модальных логиках основано на том, что некоторые характеристические свойства предикатов могут быть сформулированы в пропозициональном языке. В работе [2] рассмотрен один из возможных способов представления систем предикатов в пропозициональных модальных логиках. Формулы таких логик мы назвали свойствами, поскольку они описывают определенные характеристики представляемых предикатов. Эти свойства не обязательно определяют нужные предикаты однозначно, как например, неоднозначно представлен в логике Геделя-Леба предикат доказуемости. В модальных логиках, описанных в [2], отсутствуют средства представления термов и кванторов, без чего трудно рассчитывать на полноту описания предикатов в достаточно богатых теориях. Прежде чем говорить об описании свойств термов в пропозициональных модальных логиках, необходимо уточнить, какие языки и логики мы можем называть пропозициональными. По-видимому, главным признаком пропозициональности языка является отсутствие других переменных, кроме пропозициональных, имеющих двуэле-ментную ( в общем случае - конечную) область значений. [26]