Cтраница 2
Чаще всего для описания погрешностей и результатов наблюдений используется вероятностная модель, тогда применяют статистические критерии качества оценки и методы оценки. Однако вероятностные модели налагают существенные ограничения на исходные данные, поэтому их применение в конкретных измерительных задачах должно быть обосновано. Кроме вероятностных, могут использоваться и другие модели погрешностей; тогда методы нахождения Q не связаны со статистическими предположениями. [16]
Метод среднеквадратичной оценки, рассмотренный в разд. Эта теория имеет дело с такими задачами, как обнаружение или оценка сигналов при наличии помех, и поэтому применима, по крайней мере в принципе, к задаче выделения идеального изображения из зашумленного. Несмотря на такую потенциальную полезность, в этой области выполнено очень немного работ, что, возможно, связано с трудностями при выборе полезных статистических предположений. [17]
Дисперсионный анализ особенно ценен тогда, когда его применяют в ряде опытов, планирование которых осуществлялось с использованием статистических расчетов. Факторные опыты, в которых в одном интегральном опыте несколько факторов изменяются самым различным образом, позволяют оценить эффекты взаимодействия или одновременного влияния двух или более переменных. Такие взаимодействия могут быть исключительно важными, но они могут остаться совершенно незамеченным. Когда действует несколько факторов, статистические предположения и дисперсионный анализ становятся значительно более усложненными. Поэтому мы подробно исследуем лишь наиболее простой пример для иллюстрации рассматриваемых принципов. В более сложных случаях нетрудно разобраться, развивая дальше те же самые принципы. [18]
Как известно, термодинамика и механика сплошных сред описывают широкий круг физических явлений, которые по своей микроскопической природе имеют вероятностный характер. Это требует выяснения вероятностного смысла термодинамических параметров и точности макроскопического описания с помощью методов статистической механики, которая исходит из фундаментальных микроскопических моделей структуры вещества. Статистическая механика Гиббса состоит из двух основных компонент - теории статистических ансамблей и гипотез, которые устанавливают связь статистической механики с микроскопической динамикой. С методической точки зрения авторы удачно выбрали феноменологический подход к равновесной статистической термодинамике, который получил свое развитие в работах Мандельбро и завершен в работах Тиссы и Куэя. Этот подход позволяет построить строгий формализм статистических ансамблей Гиббса, внося статистические предположения физического характера в собственно термодинамику и не касаясь проблем обоснования статистической механики. [19]
Поэтому здесь обычно используют теорию возмущений. В первом приближении v О ( решением является функция Грина уравнения теплопроводности, если рассмотрение ведется в неограниченной среде), в следующих приближениях разложение ведется по степеням скорости. Ввиду того что йт 1, в принципе необходимо просуммировать достаточно большое число членов ряда теории возмущений. Для проведения выборочного суммирования диаграмм необходим либо малый параметр, либо определенное предположение о характере случайного процесса. Как правило, для типичных условий малый параметр отсутствует. Первое статистическое предположение, которое было здесь использовано, это предположение о непрерывном марковском процессе. Физически обоснованным марковский процесс будет, если i llv. Поэтому необходимо выйти за рамки марковского процесса. Формально для этого нужно просуммировать более широкую совокупность диаграмм, чем та, которая суммируется для белого шума. [20]
Возвращаясь снова к статистической механике, рассмотрим проблему построения равновесных ансамблей гораздо более прагматически, в духе рассуждений, проведенных в разд. Основная идея при этом состоит в том, что среди всех решений уравнения (4.1.2) или (4.1.5) можно указать такой класс решений, которые совместимы с макроскопической информацией о состоянии системы, например всевозможные распределения, соответствующие заданному значению полной энергии. Однако этот класс решений все еще содержит огромное число функций различного вида. Если мы не располагаем более детальной информацией о состоянии системы, у нас нет никаких априорных причин отдать предпочтение той или иной функции. Следовательно, мы, естественно, должны построить функцию равновесного распределения, приписывая равный статистический вес всем функциям, совместимым с нашими требованиями. Такая процедура - в неявном виде использованная еще Гиббсом - была четко сформулирована Толменом в 1938 г. и названа принципом равных априорных вероятностей. Этот принцип обладает преимуществом простоты, ясности и гибкости. Принцип равных априорных вероятностей, очевидно, не является механическим, а представляет собой некоторое статистическое предположение. Однако, как уже говорилось выше, механика сама по себе не способна однозначно решить поставленную проблему. [21]