Cтраница 1
Представление фактор-группы является представлением самой группы. [1]
Ограничимся рассмотрением только тех представлений пространственных групп, которые получаются из представлений фактор-группы, так как оказывается ( см. § II.4), что только эти представления содержат колебания, активные в ИК - и КР-спектрах. [2]
Мы получили, что представление Т тривиально на подгруппе G унимодулярных матриц и поэтому его можно рассматривать как представление фактор-группы G / G. Так как эта группа коммутативна, представление Т должно быть одномерным. Для одномерных же представлений наша лемма и теорема I тривиальным образом верны. [3]
В табл. 3 приведены представления волновых функций молекул, а в табл. 4 - порождаемые ими в кристаллах представления фактор-группы. [4]
Если мы теперь ограничимся колебаниями, потенциально-активными в ИК - и КР-спектрах, то мы должны рассматривать представления пространственной группы, выведенные из представлений фактор-группы. Число нормальных колебаний, соответствующих этим представлениям пространственной группы, также можно рассчитать по методу, предложенному Винстоном и Халфордом [37], к описанию которого мы теперь приступим. [5]
Ранее было показано, что волновые функции локализованного возбуждения могут быть составлены в соответствии с представлениями группы трансляций, определяемыми одним из ряда разрешенных волновых векторов k, а в особых случаях также в соответствии с представлениями фактор-группы или одной из ее подгрупп. Общей чертой квантовомеханических систем является то, что функции, принадлежащие различным представлениям групп, не взаимодействуют, и, чтобы найти уровни энергии кристалла, можно ограничиться рассмотрением отдельно каждого значения k и, где это применимо, отдельно каждого представления группы волнового вектора. [6]
Функции, полученные из уравнения с помощью операций фактор-группы, являются функциями подобного же вида, принадлежащими разным местам элементарной ячейки, заданным одним из значений индекса i. Линейные комбинации уравнения ( 19) и его преобразований могут быть составлены так, чтобы они принадлежали представлениям фактор-группы. Даже если вектор k не равен нулю, может, однако, случиться, что он инвариантен по отношению к определенным операциям фактор-группы. Эти операции образуют подгруппу фактор-группы, названную Бокартом и др. [5] группой волнового вектора. Из функций [ уравнение ( 19) ], принадлежащих k - му представлению группы трансляций, тоже могут быть составлены такие комбинации, которые обладают свойствами представлений группы волнового вектора. В качестве примера для простого кристалла нафталина и антрацена ( P2i / a) уже было показано, что для k 0 волновые функции кристалла преобразуются подобно представлениям фактор-группы. Существуют два занятых места, пронумерованных 1 и 2, и N / 2 молекул в каждом наборе молекул, связанных трансляцией. Из операций фактор-группы, приведенных в табл. 1, как вращение, так и отражение переводят набор 1 в набор 2 и наоборот. Инверсия переводит каждый набор сам в себя, а представления фактор-группы должны иметь те же самые характеры ( g или и), что и волновые функции молекулы. Прежде чем рассматривать другие операции, следует найти соотношение между системами координат молекул в этих двух местах. Это делается следующим образом. Предположим, что прямоугольная правовинтовая система осей совмещена с осями симметрии молекулы в месте 1 элементарной ячейки при выбранном произвольно положительном направлении. Тогда расположение осей для молекулы в месте 2 будет определяться преобразованием исходных осей с помощью операций ал. [7]
Отображение группы в фактор-группу G - G / H является гомоморфизмом, потому что сохраняет групповую операцию. Действительно, если в группе g, то и произведение соответствующих смежных классов HgiHg - Hg. Представление фактор-группы является гомоморфизмом по определению представления. [8]
Для особых значений k, как показано в разделе 1 3В, базисные функции могут быть скомбинированы так, чтобы они преобразовывались согласно представлениям определенной точечной группы. Таким наиболее важным особым случаем является случай k О, потому что соответствующие верхние состояния главным образом ответственны за поглощение света. Базисные функции могут быть скомбинированы в соответствии с представлениями фактор-группы, и если в кристалле все молекулы с точки зрения кристаллографии эквивалентны, то вековое уравнение может быть приведено к диагональному виду и значения энергий могут быть легко рассчитаны. В качестве примера возьмем опять кристалл P2i / a нафталина или антрацена, для которых линейные комбинации [ уравнения ( 21а) и ( 216) ] имеют симметрию фактор-группы. [9]
Важно отметить, что at не зависит от числа рассматриваемых элементарных ячеек. Этот результат очевиден, если вместо пространственной группы взять группу чистых трансляций, где все представления фактор-группы соответствуют полносимметричному представлению Г0 группы трансляций. [10]
Важно отметить, что at не зависит от числа рассматриваемых элементарных ячеек. Этот результат очевиден, если вместо пространственной группы взять группу чистых трансляций, где все представления фактор-группы соответствуют полносимметричному представлению Г ( 0) группы трансляций. [11]
Функции, полученные из уравнения с помощью операций фактор-группы, являются функциями подобного же вида, принадлежащими разным местам элементарной ячейки, заданным одним из значений индекса i. Линейные комбинации уравнения ( 19) и его преобразований могут быть составлены так, чтобы они принадлежали представлениям фактор-группы. Даже если вектор k не равен нулю, может, однако, случиться, что он инвариантен по отношению к определенным операциям фактор-группы. Эти операции образуют подгруппу фактор-группы, названную Бокартом и др. [5] группой волнового вектора. Из функций [ уравнение ( 19) ], принадлежащих k - му представлению группы трансляций, тоже могут быть составлены такие комбинации, которые обладают свойствами представлений группы волнового вектора. В качестве примера для простого кристалла нафталина и антрацена ( P2i / a) уже было показано, что для k 0 волновые функции кристалла преобразуются подобно представлениям фактор-группы. Существуют два занятых места, пронумерованных 1 и 2, и N / 2 молекул в каждом наборе молекул, связанных трансляцией. Из операций фактор-группы, приведенных в табл. 1, как вращение, так и отражение переводят набор 1 в набор 2 и наоборот. Инверсия переводит каждый набор сам в себя, а представления фактор-группы должны иметь те же самые характеры ( g или и), что и волновые функции молекулы. Прежде чем рассматривать другие операции, следует найти соотношение между системами координат молекул в этих двух местах. Это делается следующим образом. Предположим, что прямоугольная правовинтовая система осей совмещена с осями симметрии молекулы в месте 1 элементарной ячейки при выбранном произвольно положительном направлении. Тогда расположение осей для молекулы в месте 2 будет определяться преобразованием исходных осей с помощью операций ал. [12]
Функции, полученные из уравнения с помощью операций фактор-группы, являются функциями подобного же вида, принадлежащими разным местам элементарной ячейки, заданным одним из значений индекса i. Линейные комбинации уравнения ( 19) и его преобразований могут быть составлены так, чтобы они принадлежали представлениям фактор-группы. Даже если вектор k не равен нулю, может, однако, случиться, что он инвариантен по отношению к определенным операциям фактор-группы. Эти операции образуют подгруппу фактор-группы, названную Бокартом и др. [5] группой волнового вектора. Из функций [ уравнение ( 19) ], принадлежащих k - му представлению группы трансляций, тоже могут быть составлены такие комбинации, которые обладают свойствами представлений группы волнового вектора. В качестве примера для простого кристалла нафталина и антрацена ( P2i / a) уже было показано, что для k 0 волновые функции кристалла преобразуются подобно представлениям фактор-группы. Существуют два занятых места, пронумерованных 1 и 2, и N / 2 молекул в каждом наборе молекул, связанных трансляцией. Из операций фактор-группы, приведенных в табл. 1, как вращение, так и отражение переводят набор 1 в набор 2 и наоборот. Инверсия переводит каждый набор сам в себя, а представления фактор-группы должны иметь те же самые характеры ( g или и), что и волновые функции молекулы. Прежде чем рассматривать другие операции, следует найти соотношение между системами координат молекул в этих двух местах. Это делается следующим образом. Предположим, что прямоугольная правовинтовая система осей совмещена с осями симметрии молекулы в месте 1 элементарной ячейки при выбранном произвольно положительном направлении. Тогда расположение осей для молекулы в месте 2 будет определяться преобразованием исходных осей с помощью операций ал. [13]