Cтраница 1
Представление натурального числа п в виде произведения двух натуральных чисел p - q называется разложением на множители. [1]
Представление натурального числа я в виде произведения двух натуральных чисел p - q называется разложением на множители. [2]
В представлении натурального числа у имеется / 1 знак. [3]
Пришло время доказать, что представление натурального числа в виде, указанном в § 3.1, единственно. [4]
Обозначим fi ( п) число неупорядоченных представлений натурального числа п суммой равных или неравных натуральных чисел. [5]
СЧИСЛЕНИЕ, нумера ц и я - совокупностьпрп-емов представлении натуральных чисел. [6]
Легко получить этот результат непосредственно: заметим, что требуемое число может быть интерпретировано как число представлений натурального числа т, в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых четно. [7]
Однако из этих равенств вытекает, что разложения в (8.1) также одинаковы, и мы пришли к противоречию. Значит, представление натурального числа в виде, указанном в теореме из § 3.1, единственно. [8]
Десятично-двоичное представление чисел менее экономно, чем двоичная система счисления. Например, для представления натурального числа 10 требуется одна тетрада 1010 в двоичной системе счисления, но две тетрады 00010000 в ДКД. [9]
Существует множество представлений для таких объектов, как булевы константы, натуральные числа и списки; представления, приведенные выше, ни в коем случае не являются единственными. Важно отметить, что мы нашли путь для представления натуральных чисел и операций SUCC, PRED и EQO. Так как мы имеем также У-комбинатор ( описанный в разд. Таким образом, хотя материал этого раздела представляет только академический интерес, с учетом остального содержания данной книги он дает пример выразительной силы А-исчисления, даже когда казавшиеся поначалу такими важными б-правила отсутствуют. [10]
В этом параграфе мы, как правило, рассматриваем ряд у - - 1 последовательных заполненных клеток, до и после которого имеется пустая клетка, как представляющий натуральное число у. Одна и та же пустая клетка может рассматриваться одновременно как последняя клетка в представлении одного числа и как первая в представлении другого. Это позволяет нам рассматривать любую совокупность знаков, напечатанных на ленте ( бесконечной в обе стороны), как состоящую из конечной последовательности представлений натуральных чисел. Отрезок ленты, состоящий более чем из одной пустой клетки ( например, z - J-1 клетки) и заключенный между двумя группами последовательно заполненных клеток, мы будем называть промежутком ( из z клеток) между представленными числами. Как в § 67, т последовательных представлений натуральных чисел на ленте мы будем рассматривать как представляющие те-ку только в том случае, если между ними нет промежутков. [11]
Выбор кода определяется конкретными условиями устройства и работы элементов системы, между которыми происходит передача информации. В каждом случае возможно применение различных кодов, один из которых может оказаться наиболее, подходящим. Для дискретных сигналов, например, может быть применен цифровой код, основанный на той или иной позиционной системе счисления. Применяются шестнадцатиричная, десятичная, восьмеричная, троичная, двоичная и некоторые другие системы счисления. Название каждой из этих систем определяется числом, принятым за ее основание. Основание системы счисления равно отношению между единицами соседних разрядов и количеству различающихся цифр, необходимых для представления всевозможных натуральных чисел в этой системе. Любое число представляется в каждой системе счисления суммой всех степеней основания от нулевой до высшей, нужной для получения данного числа, взятых с некоторыми коэффициентами, не привышающими основания. [12]
Разумеется, это не значит, что ребенок учится вычислять непосредственно в процессе счета. Порядкового, числа в этом примитивном смысле дидакты избегают правомерно. Ребенок должен заниматься счетом систематически и, кроме того, работать с перечисляемыми образами. Для этого нужен однородный структурированный материал; цитированные выше устрашающие примеры нарушают оба принципа: и структурированность, и однородность. Если ребенку предложить две диаграммы Венна соответственно с восемью и с пятью произвольными и произвольно упорядоченными объектами для сложения, то это будет хорошо гармонировать с количественным аспектом, но чем это поможет бедному ребенку. Чтобы сложить данные объекты, он может лишь попросту пересчитать их. Таким образом он не учится складывать 8 и 5 наглядно. Для наглядности он должен видеть 8 и 5 структурированно, скажем, в виде двух горизонтальных рядов или на счетах. Представление натуральных чисел конкретными множествами страдает отсутствием наглядно выполняемых операций. На счетной доске вычисляют с помощью однородных структурированных множеств, скажем рядов камешков или корочек. Во всех хороших учебниках арифметики, которые я видел, я убеждался в этом принципе; все новые вспомогательные средства для вычислений, созданные или пропагандируемые хорошими педагогами, сознательно используют однородность и структурированность. Разумеется, не следует забывать неоднородные или неструктурированные примеры, встречавшиеся ранее. Они тоже существуют в этом мире. [13]