Cтраница 3
Алгебраические модели широко применяются при исследованиях, связанных с интуиционистской логикой. Существенную роль играет в таких исследованиях понятие псевдобулевой ( в другой терминологии - брауэровой) алгебры ( см., например, [1]), относящееся к интуиционистской логике высказываний так же, как понятие булевой алгебры к классической логике высказываний. При этом в конкретных приложениях обычно используются специальные представления псевдобулевых алгебр: алгебры открытых подмножеств топологических пространств, модели Крипке [2], модели Бета [ 3, с. Основными объектами применения алгебраической техники являются суперинтуиционистские и модальные логики высказываний, реже - исчисление предикатов первого порядка. [31]
Непосредственно решить основное кинетическое уравнение чрезвычайно трудно. Существует, тем не менее, много методов получения решения. Идея состоит в том, чтобы преобразовать уравнение (18.15) в с-числовое уравнение, используя специальные представления для матрицы плотности, такие как функции распределения в фазовом пространстве или представление чисел заполнения для фотонов. [32]
При обычном способе анализа кривая представляется n - мерным вектором, каждая компонента которого есть некоторая ордината кривой, а номера компонент, естественно, заданы вдоль изменения аргумента кривой. Однако этот способ не учитывает априорных знаний, заключающихся в том, что исходная информация является упорядоченной. Методы описания кривых признаками, существенно использующие специальную организацию исходных данных, как правило, основываются на специальных представлениях об источнике конкретных кривых. Когда человек анализирует на глаз, он часто выделяет на кривой основные колебания и небольшие характерные участки. Содержательные методы построения признаков кривых в значительной части опираются на эти естественные возможности человека. Легко увидеть аналогию между тем, как человек анализирует кривые и изображения. На изображении он также прежде всего обращает внимание на локальные геометрические особенности и на другие характерные признаки. [33]
Мифологическая модель должна обеспечивать возможность правильного представления наших восприятий. Примем как постулат, что для этого необходимо правильно представлять элементарные факты. В реальном мире нет никаких специальных механизмов представления элементарного факта; реальный мир таков, каков он есть, специальное представление реального мира необходимо нам для того, чтобы понять его. [34]
Действительно, для большинства групп не известны даже степени, не говоря уже о самих неприводимых модулярных представлениях. А на практике - скажем, в анализе отсутствия факторизации - происходит следующее: общая теория позволяет показать, что лишь некоторые очень специальные представления играют решающую роль. К последним относятся, например, естественное представление и его симметрический квадрат. Такие представления изучены достаточно хорошо. [35]
Эти особенности исходно были вызваны к жизни сложностью задачи понимания речи, однако в дальнейшем оказалось, что и для ряда других приложений также нужны подобные средства. I ориентирована на решение принципиально трудной проблемы, обладающей такими свойствами, для учета которых необходимы специальные архитектурные решения. Среди таких свойств - ненадежные знания или данные, большое пространство поиска возможных решений, отсутствие методов для точной оценки частичных решений, невозможность указать одну фиксированную последовательность действий, приводящую к эффективному решению задачи, взаимодействие между решениями для отдельных подзадач исходной задачи, необходимость в вероятностном угадывании отдельных решений для последующего анализа, отсутствие достаточно сильной модели решения задач, которая позволила бы эффективно выбрать единственную линию рассуждения, необходимость в специальных представлениях знаний, повышающих эффективность применения знаний. [36]
Отметим, что доступ по индексу или по относительной позиции не играет никакой роли в обработке множества. В языках программирования термин множество часто применяется к структуре данных, представляющей упорядоченное множество. Такие упорядоченные множества являются в действительности ограниченной формой списка, и нам не нужно их. Однако неупорядоченное множество допускает два специальных представления в памяти, которые заслуживают внимания. [37]
Для этой цели использована хорошо разработанная теория для полубесконечных тел. Для их решения предложен эффективный метод, основанный на известных спектральных соотношениях и методе Ремеза. Основываясь на специальном представлении решения интегрального уравнения, в соотношениях для неоднородного решения плохо сходящаяся часть интегрируется, что позволяет получить соотношения удобные для численной реализации. Результаты исследований, приведенные в этой главе, показали, что метод однородных решений является удобным и эффективным средством решения контактных задач для тел, достаточно сильно отличающихся от канонических. [38]
Итак, с помощью преобразования Фурье удалось перейти от исходного интегрального уравнения к алгебраическому уравнению для изображений. Однако теперь в уравнение ( 19) входят уже две неизвестные функции. Вообще говоря, из одного алгебраического уравнения нельзя однозначно определить две неизвестные функции. Метод Винера-Хопфа позволяет решить эту задачу для определенного класса функций. Он в первую очередь связан с изучением областей аналитичности входящих в уравнение функций и специальным представлением этого уравнения. Основная идея метода Винера-Хопфа заключается в следующем. [39]
Итак, с помощью преобразования Фурье мы опять перешли от исходного интегрального уравнения к алгебраическому уравнению для преобразований. Однако теперь в уравнение ( 47) входят уже две неизвестные функции. Вообще говоря, из одного алгебраического уравнения нельзя однозначно определить две неизвестные функции. Метод Винера-Хопфа позволяет решить эту задачу для определенного класса функций. Он в первую очередь связан с изучением областей аналитичности, входящих в уравнение функций, и специальным представлением этого уравнения. Основная идея метода Винера-Хопфа заключается в следующем. [40]
Под аналитическим продолжением понимают следующий процесс: если функция уже определена в некотором определенном круге-сходимости степенным рядом, то ее разумеется также можно разложить в ряд по целым положительным степеням ( z - 2), сходящийся: в некоторой окрестности точки zr9 где z - произвольная точка, лежащая внутри круга сходимости. Быть может эти новые круги сходимости выйдут за пределы старого круга и тем самым сделают возможным продолжение определения нашей функции на новые области. Это получение новых областей, в которых можно определить нашу функцию, и называется аналитическим продолжением. Если это аналитическое продолжение производить столь далеко, как только возможно, то получится полная функция, которую следует обязательно отличать от элемента функции уже хотя бы потому, что элемент функции однозначен, тогда как полная функция может быть и многозначной. Именно в теории этих полных функций и состоит красота современной теории функций, так как полные функции часто можно полностью-охарактеризовать общими свойствами, не обращая внимания на каждое специальное представление. [41]