Cтраница 1
Конечномерные представления группы унимодулярны матриц / / Докл. [1]
Напомним, что всякое конечномерное представление группы G унитарно. [2]
В частности, всякое конечномерное представление группы G ( а следовательно, и алгебры / С [ G ]) является суммой неприводимых. K [ G ] содержится в ядре любого конечномерного представления. [3]
В построении этого представления участвует конечномерное представление группы Лоренца D [ ], которое в силу накрытия можно считать также представлением D [ и ] группы SL ( 2); это представление, вообще говоря, приводимо. В этом смысле все ноля могут быть сведены к спин-тензорным. [4]
Временно обозначим через Р1 множество всех весов всех голоморфных конечномерных представлений группы G. Как будет показано ниже, Р совпадает с весовой решеткой Р с it, определенной в терминах корневой системы. [5]
Ниже мы увидим, что этот факт имеет место для конечномерных представлений полупростых групп. [6]
Пусть группа G конечна и charF не делит G. Тогда всякое конечномерное представление группы G над полем F изоморфно прямой сумме неприводимых представлений. [7]
Пусть основное поле Р имеет нулевую характеристику и алгебраически замкнуто. Тогда, если два конечномерных представления группы Г имеют одинаковые характеры, то оба эти представления состоят из одинаковых ( с точностью до эквивалентности) неприводимых частей. [8]
Система матриц с такими свойствами в теории групп называется линейным представлением группы. Матрицы конечного ранга Л образуют конечномерное представление группы Лоренца. [9]
Очень мало говорится в книге о теории конечномерных представлений полупростых групп и алгебр Ли. Дело в том, что на русском языке имеется уже достаточное число хороших изложений этой области теории представлений ( см. [40], [45], [27]) и автору не хотелось повторять их. [10]
Важные применения группового подхода к квантованным полям были сделаны в 1964 г. Вайпбергом. Определяя частицу по Вигнеру с помощью неприводимого унитарного представления группы Пуанкаре, поле же - с помощью полевого представления той же группы, заданного некоторым конечномерным представлением группы Лоренца, действующим на компоненты поля, Вайпберг установил простое и общее соотношение между операторами рождения ( уничтожения) и операторами поля. Соотношение это сводится к линейному преобразованию, коэффициенты которого зависят от импульса, и к преобразованию Фурье. [11]
Картан построили теорию конечномерных представлений полупростых групп Ли. Теория представлений групп становится прикладной наукой и ее популярность быстро возрастает. [12]
Алгебры С ( Е), S ( E) наделяются одной из стандартных топологий ( напр. Если Е - квазиполное бочечное пространство, то всякое раздельно непрерывное представление непрерывно. G, определяемое в том или ином классе функций j ( x) на группе G. Всякое непрерывное конечномерное представление группы G аналитично. Если G - комплексная группа Ли, то естественно рассматривать также ее комплексно аналитические ( голоморфные) представления. Как правило, в теории представлений групп Ли рассматриваются только непрерывные представления, и условие непрерывности специально не оговаривается. Если группа G компактна, то все ее неприводимые ( непрерывные) представления конечномерны. Соответственно, если G - полупростая комплексная группа Ли, то все ее неприводимые голоморфные представления конечномерны. [13]