Cтраница 1
Преобразование квадратичной формы (2.8) к виду (2.9) включает перенос начала координат, при котором исчезают линейные члены, и поворот осей, в результате чего исключаются перекрестные члены. [1]
Изложенная схема преобразования квадратичных форм применима также и к формам, содержащим любое число переменных, но решение характеристического уравнения становится все более и более трудным, поэтому для нахождения характеристических чисел и преобразования координат, как иногда называют переменные, применяются и другие методы, излагаемые в курсах механики и математики, мы не будем излагать их здесь. [2]
Таким образом, преобразование квадратичной формы сводится к расширению ее до эрмитовой и последующей замене переменных их изображениями Лапласа, найденными при нулевых начальных условиях. [3]
В этом, собственно, и заключается некоторая путаница при изучении преобразований квадратичных форм. [4]
Высказанные выше теоремы требуют строгого доказательства; для этой цели нам необходимы некоторые простые теоремы о преобразовании квадратичных форм, которые мы здесь и докажем. [5]
Мы рассмотрим только два вопроса из теории квадратичных форм, являющейся одним из интереснейших отделов математики - преобразование квадратичных форм к так называемому каноническому виду, после которого они превращаются в сумму квадратов некоторых новых переменных, связанных со старыми и умноженных на некоторые новые коэффициенты, также получающиеся из старых, и классификацию квадратичных форм. [6]
Можно было бы, исследуя непосредственно характеристическое уравнение, получить все нужные нам свойства его корней и соответствующих им главных направлений. Но мы пойдем значительно более коротким путем, воспользовавшись теоремой § 161 о преобразовании квадратичной формы к сумме квадратов. [7]
Теория линейных дифференциальных и интегральных операторов очень выигрывает в ясности и сжатости при введении соответствующих собственных функций как вспомогательной базисной системы. В геометрической интерпретации это означает, что соответствующая поверхность второго порядка преобразуется к своим главным осям. Преобразование квадратичных форм к главным осям становится, таким образом, фундаментальным связующим звеном между весьма различными ветвями математики. Решение системы линейных алгебраических уравнений, матричное исчисление, общая теория линейных дифференциальных и интегральных операторов - все эти проблемы могут рассматриваться как различные формулировки одной и той же основной проблемы, а именно преобразование к главным осям поверхности второго порядка в эвклидовом пространстве конечного или бесконечного числа измерений. [8]
Нетрудно видеть, что уравнение ( 10 31) есть характеристическое уравнение матрицы А. Подставляя поочередно эти значения X в систему ( 10 30), найдем элементы / п, / 2Ь / 12, / 22 матрицы преобразования S. После того как определены Ха и Х2, преобразование квадратичной формы к каноническому виду можно считать законченным. [9]
Нетрудно видеть, что уравнение ( 10 31) есть характеристическое уравнение матрицы А. Подставляя поочередно эти значения X в систему ( 10 30), найдем элементы ln, / 21 / 12, 22 матрицы преобразования S. После того как определены Xj и Х2, преобразование квадратичной формы к каноническому виду можно считать законченным. [10]
При преобразовании уравнения ( 2) в уравнение ( 4) преобразуется фактически только стоящая в левой части квадратичная форма. Именно, выражения для х и у из ( 3) мы подставляем в форму ах2 2Ьху су2 и после выполнения всех необходимых действий приходим к форме Яж 2 и. Таким образом, с алгебраической точки зрения преобразование уравнения ( 2) в уравнение ( 4) является преобразованием квадратичной формы при помощи неособенного линейного преобразования переменных. [11]
Из теорем 2 и 3 следует, в частности, что всегда существует тройка взаимно ортогональных главных направлений. Действительно, если все корни характеристического уравнения - простые, то соответствующие им однозначно определенные главные направления образуют как раз требуемую тройку. Если один корень - про-9 стой, а другой - двойной, то такую тройку образуют однозначно определенное главное направление, соответствующее простому корню, и любые два направления, ортогональные к нему и друг к другу. Наконец, если характеристическое уравнение имеет тройной корень, то любая тройка взаимно ортогональных направлений есть вместе с тем тройка главных направлений. Поэтому преобразование квадратичной формы к виду ( 8) и называют преобразованием к главным осям. [12]
Я должен благодарить многих моих товарищей по науке за их любезную помощь и отзывчивость. Проф, Кнезер был настолько любезен, что просмотрел эти главы и в корректуре. Мой коллега приват-доцент д-р Вальтер Шнее прочел в рукописи механику материальной точки и механику твердого тела и также улучшил во многих местах изложение, устранив целый ряд неточностей. Ему же принадлежит изящное изложение в § 58 теоремы о преобразовании квадратичных форм. Равным образом обязан я приват-доценту Фрицу Рейхе в Берлине за просмотр рукописи по механике сплошной среды, изложению которой он помог своими советами. Моя ученица д-р Штальвиц предоставила в мое распоряжение свои тщательно отделанные лекционные записки, которые и положены были мною в основу черновика рукописи. [13]