Cтраница 1
Нулевое преобразование; б) поворот на угол я / 2 в положительном или отрицательном направлении с последующим умножением на неотрицательное число; в) фЛ а X При а ф 0 преобразование ф сводится к проектированию вектора X на плоскость, перпендикулярную к вектору а, повороту вокруг а на угол я / 2 в положительном направлении и умножению на длину а. [1]
Для нулевого преобразования все ненулевые векторы пространства являются собственными с собственным значением, равным нулю. [2]
Простейшим примером нильпотентного преобразования может служить нулевое преобразование; его высота равна единице. [3]
Легко также видеть, что матрица нулевого преобразования в любом базисе состоит сплошь из нулей. [4]
Ар, имеющие положительную степень, определяют нулевое преобразование. [5]
Нулевой матрице 0 ( все элементы которой равны нулю) соответствует лри этом нулевое преобразование О, переводящее каждый вектор в нль. [6]
Доказать, что все собственные значения самосопряженного преобразования равны нулю тогда и только тогда, когда это - нулевое преобразование. [7]
Достаточно доказать, что в заданном базисе матрица А2 - рА 4 - gl совпадает с нулевой матрицей ( то есть все элементы матрицы равны нулю), поскольку лишь в этом случае соответствующее линейное преобразование может быть нулевым преобразованием О. [8]
Чем больше ядро, тем меньше образ и тем более вырожденным является преобразование. Крайними случаями являются нулевое преобразование, ядром которого является все R, а образ равен нулю, и, с другой стороны, обратимое преобразование, образом которого является все пространство, а ядро равно нулю. [9]
Нетрудно показать, что преобразования А - - В и аА тоже линейны и что множество линейных преобразований пространства L само является линейным пространством. Роль нулевого вектора в пространстве линейных преобразований выполняет нулевое преобразование В. Доказательство этих утверждений предоставляем читателю. [10]
На этом примере видно, что при возведении преобразования в степень его ядро расширяется, а образ, наоборот, уменьшается. При этом размерность ядра как бы характеризует степень вырожденности преобразования. Чем больше ядро, тем меньше образ и тем более вырожденным является преобразование. Крайними случаями являются нулевое преобразование, ядром которого является все Л, а образ равен нулю, и, с другой стороны, обратимое преобразование, образом которого является все пространство, а ядро равно нулю. [11]
Из полученных результатов следует, что операции над линейными преобразованиями обладают теми же свойствами, что и операции над матрицами. Так, сложение линейных преобразований коммутативно и ассоциативно, а умножение ассоциативно, но при я1 не коммутативно. Для линейных преобразований существует однозначное вычитание. Отметим также, что тождественное преобразование е играет среди линейных преобразований роль единицы, а нулевое преобразование со-роль нуля. Действительно, в любой базе преобразование е задается единичной матрицей, а преобразование со - нулевой матрицей. [12]