Cтраница 1
Произвольные аффинные преобразования, переводящие гиперболоид в себя. Из результатов, полученных JB предыдущем п, легко следует, что совокупность дсех аффинных преобразований, переводящих гиперболоид в себя, переводит в себя и все соасимптотические гиперболоиды и совпадает с совокупностью всех эквиаффинных преобразований, переводящих его асимптотический конус в себя. Действительно, лрежде всего, при аффинном преобразовании, переводящем гиперболоид в себя, центр гиперболоида остается на месте, а асимптоты переходят в асимптоты, поэтому асимптотический конус гиперболоида, т.е. конус, образованный асимптотами, проходящими через центр, также переходит в себя. [1]
Произвольные аффинные преобразования, переводящие параболоид в себя. Мы определим в этом п все аффинные преобразования первого рода, переводящие параболоид вращения ( 1) или равносторонний гиперболический параболоид ( 2) в себя. Тем самым определятся и все аффинные преобразования первого рода, переводящие произвольный эллиптический или гиперболический параболоид в себя, а именно как индуцируемые найденными. В случае же преобразований второго рода нужно будет добавить еще ( вообще говоря, косое) отражение в какой-нибудь диаметральной плоскости. [2]
Итак, произвольное аффинное преобразование f пространства Е есть композиция fsf2f, где f, - композиция п сжатий параллельно попарно ортогональным векторам ( 2); f2 - движение, удовлетворяющее условию ( 3); / з - параллельный перенос. [3]
Пусть Я - произвольное аффинное преобразование первого рода, переводящее этот параболоид в себя, и пусть О - образ точки О при этом преобразовании. Точка О может быть переведена в О также с помощью некоторого прямого параболического поворота П, преобразующего параболоид ( 1) в себя. В таком случае аффинное преобразование П-1 S будет переводить параболоид ( 1) в себя, оставляя его точку О на месте. Так как всякое аффинное преобразование, переводящее параболоид в себя, переводит и его особое направление в себя, то П 1 преобразует и ось z в себя. Но тогда П-12 преобразует и плоскость ху в себя, так как ось z есть диаметр, соответствующий сечениям параболоида, параллельными плоскости ху, а при аффинном преобразовании соответствие между плоскими сечениями и диаметрами не нарушается. Оси х и у, представляющие собой пару сопряженных диаметров проекций на плоскость ху сечений параболоида ( 1), параллельных этой плоскости, перейдут в такую же пару диаметров. [4]
В определении (3.15) произвольного аффинного преобразования плоскости имеется шесть параметров, или степеней свободы. [5]
Написанная формула показывает, что произвольное аффинное преобразование можно рассматривать как произведение перспективно-аффинного преобразования, преобразования движения и гомотетии. [6]
Поставим теперь задачу о главных направлениях в произвольном аффинном преобразовании А. [7]
В § 11 мы доказали, что в том случае, когда в качестве U ( OX) OXo рассматриваются произвольные аффинные преобразования пространства А, то каждый класс эквивалентности характеризуется рангом, сигнатурой квадратичной формы и свойством функции быть центральной. Сужая множество преобразований до изометрических преобразований билинейной формы w ( x у), мы любой из найденных в § 1 классов разобьем на новые классы эквивалентности. [8]
Эти гиперболоиды образуют семейство соасимптотических гиперболоидов. Сделав произвольное аффинное преобразование пространства, мы получим семейство общих соасимптотических гиперболоидов, совместно с их асимптотическим конусом, которым может служить произвольный конус второго порядка. [9]
Вопрос о произвольных аффинных преобразованиях, переводящих эллиптический или гиперболический параболоид в себя, будет удобнее рассмотреть в следующем параграфе, после установления некоторых аффинных свойств параболоидов. [10]
Если А - произвольное аффинное преобразование, при котором начало координат О переходит в О, то преобразование ТО ОА, при котором точка О неподвижна, эквивалентно A: TO QA - А. Таким образом, каждое аффинное преобразование эквивалентно некоторому аффинному преобразованию с неподвижной точкой О. [11]
Из этой теоремы предложение 1 вытекает уже без особого труда. Действительно, пусть, например, Ф - произвольное аффинное преобразование плоскости. [12]
Чтобы получить наиболее общее проективное преобразование плоскости, достаточно подвергнуть пространство, в котором задана связка прямых, проектирующих эту плоскость, произвольному аффинному преобразованию с фиксированным началом О, а затем пересечь преобразованную связку тою же плоскостью. При этом мы каждый раз будем получать то же самое проективное преобразование, если, кроме того, соответственно множителю р подвергнем пространство еще произвольной гомотетии с центром О, ибо проективное соответствие всецело определяется пересечениями прямых, проходящих через О, с нашей плоскостью, а каждая из этих прямых при указанной гомотетии переходит в себя. [13]
Наконец, добавление возможности растягивать и сжимать изображение ( рисунки 16 и 17) по любому направлению приводит к аффинным преобразованиям в целом. Этими преобразованиями из рисунка 15 порождается уже довольно широкий класс изображений, они, очевидно, отличаются друг от друга довольно значительно. В главе I рассмотрен код, позволяющий описывать любое изображение, получаемое из данного произвольным аффинным преобразованием, и только такие изображения. [14]