Cтраница 1
Проективные преобразования прямой, имеющие положительные определители, называются преобразованиями первого рода, а имеющие отрицательные определители - преобразованиями второго рода. [1]
Доказать, 4iq проективное преобразование прямой /, при котором точ А, В, С переходят в точки А, В, С, являются инволюцией. [2]
Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек. [3]
Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек. [4]
Основываясь на этом разбиении проективных преобразований прямой на преобразования двух родов, можно ввести понятие ориентации на проективной прямой, а именно, считать две упорядоченные тройки точек одинаково ориентированными, если проективное преобразование прямой, переводящее одну тройку в другую, есть преобразование первого рода, и противоположно ориентированными, если указанное преобразование - второго рода. В свою очередь, это понятие ориентации можно положить в основу введения понятия проективного порядка на прямой. [5]
В этом - существенное отличие проективных преобразований прямой ( и, как мы увидим в следующей главе - также проективного пространства) от проективных преобразований проективной плоскости, где определитель преобразования есть определитель третьего порядка, заданный с точностью до множителя X3 и потому могущий принимать значения обоих знаков. [6]
Эта величина имеет поэтому проективный смысл и представляет собой числовое значение, инвариантное по отношению ко всем проективным преобразованиям прямой. [7]
Согласно задаче 30.9 композиция проецирований CD на S из А и S на CD из В является проективным преобразованием прямой CD. [8]
Основываясь на этом разбиении проективных преобразований прямой на преобразования двух родов, можно ввести понятие ориентации на проективной прямой, а именно, считать две упорядоченные тройки точек одинаково ориентированными, если проективное преобразование прямой, переводящее одну тройку в другую, есть преобразование первого рода, и противоположно ориентированными, если указанное преобразование - второго рода. В свою очередь, это понятие ориентации можно положить в основу введения понятия проективного порядка на прямой. [9]
Если считать, что данная окружность отождествлена с прямой I посредством проектирования из точки М, то утверждение последней задачи можно переформулировать следующим образом: отображение окружности на себя при помощи движения плоскости является проективным преобразованием прямой. [10]
Таким образом, если фиксировать на прямой какой-нибудь базис ЛВС, то каждое проективное преобразование этой прямой изобразится невырожденным линейным однородным преобразованием двух переменных ( рассматриваемым с точностью до пропорциональности) и обратно, каждое такое линейное преобразование будет изображать некоторое проективное преобразование прямой. [11]
Выберем произвольную точку на данной окружности и посредством проецирования из выбранной точки отождествим данную окружность с некоторой прямой I. Согласно задаче 30.39 центральное проектирование окружности на себя при данном отождествлении является проективным преобразованием прямой I. Ясно, что вершина искомого многоугольника есть неподвижная точка композиции последовательных проектирований данной окружности на себя из данных точек. [12]
Пусть F - точка, симметричная F относительно О. Согласно задаче 30.9 композиция проецирования прямой АВ на окружность S из точки М, а затем S обратно на АВ из Q является проективным преобразованием прямой АВ. Рассмотрим композицию этого преобразования с симметрией относительно точки О. При этом точки А, В, О, Е переходят соответственно в В, A, F, О. [13]
Обозначим точки пересечения прямых ABi и BAi, BCi и CBi, CAi и ACi через Р, Q, R соответственно, а точку пересечения прямых PQ и СА - через Ль Нам надо доказать, что точки R и RI совпадают. Легко видеть, что получившееся проективное преобразование прямой CAi точки С, D и AI оставляет неподвижными, а точку R переводит в Ль Но согласно задаче 30.5 проективное преобразование с тремя неподвижными точками тождественно. [14]