Cтраница 3
Множество замыканий операторов, которое может быть получено из структурного цикла с помощью ряда равносильных преобразований, заключающихся в переносе замыканий операторов ( см. § 4.7, преобразование (4.16)), называется циклом. [31]
Если Л: X - Y - замыкаемый оператор, то нетрудно видеть, что область определения D ( Л) замыкания оператора Л включает только те / из X, для которых существуют такие / из D ( Л), что / - / при п - оо. [32]
Теорема 6.2. Если q ( x) ( 0 х оо) - непрерывная, снизу ограниченная функция, то оператор I ( замыкание оператора I, определение которого дано в начале этого пункта) самосопряжен. [33]
Обыкновенный комплексный скейлинг, по-видимому, не подходит для изучения гамильтониана Штарка, так как в этой ситуации нет порога, вокруг которого может повернуться спектр ( сг ( / Со) R. Со ( 0) - замыкание оператора - Л ехр ( - 20) / х ехр 0 на S ( Rv) для Im 0 0, то с удивлением обнаружим, что спектр / Со ( 0) пуст. [34]
Бели оператор А не замкнут, но для различных последовательностей и, 6 D ( A) сходящихся к одному и тому же пределу, последовательности Ли, Аи, не могут сходится к различным пределам, то у оператора А имеются замкнутые расширения. Среди всех расширений выделяется минимальное замкнутое расширение, его обозначают через Л и называют замыканием оператора А. [35]
Случай неполного пространства X легко сводится к уже рассмотренному. Действительно, если ввести пополнение пространства X, то замыкания ( см. теорему V.8.2) операторов К и К 1 будут взаимно обратны, а замыкание оператора Я будет также связано с оператором И условиями I и II с той же самой постоянной TI и новой постоянной %, сколь угодно близкой к старой. [36]
В дальнейшем мы будем проводить исследования не в пространствах Ck ( f2), а в пространствах Соболева с обобщенными производными, к изучению которых мы и перейдем. Бели идти прямым путем, то для получения, например, самосопряженного расширения оператора, заданного дифференциальным выражением в частных производных с плотной в И областью определения, который должен быть симметричным, нужно использовать процесс замыкания оператора. В этом случае опять нужно использовать понятие обобщенной производной, но, как было отмечено выше, этот путь довольно труден. [37]
Говорят, что незамкнутый оператор А допускает замыкание, если его можно расширить до замкнутого оператора A-L. При выполнении этого условия можно построить замкнутое расширение А оператора А, полагая Ах у, если существует последовательность хп ЕЕ Э) ( А) такая, что хп - х и Ахп - у. Оператор Л называется замыканием оператора А. [38]
L c ( 2) можно ввести естественные топологии, то имеет смысл вопрос о существовании слабого замыкания оператора взятия А - градиента. [39]
Предположим, что В не содержит проекторов с бесконечной однородной кратностью. Если SQ - гильбертово пространство и А - замкнутое линейное отображение из Ж в SQ с плотной областью определения, построенные в лемме 35, то замыкание Q оператора AQA 1 есть ограниченный нормальный оператор. [40]
Так же, как в теории ограниченных операторов, мы можем рассмотреть оператор N Т - S, однако изучение N наталкивается на трудности. Из леммы 2 видно, что сужение N на каждое подпространство Е ( сг) X, где о - ограниченное борелевское множество, является квазинильпотентным оператором, но сам оператор N может не быть квазинильпотентным. Может даже случиться, что оператор NS 1 не будет квазинильпотентным. Рассмотрим, например, спектральный оператор С, построенный в примере перед леммой 19; его скалярной частью является оператор А, и замыкание оператора С - А есть В. Как мы отметили перед леммой 19, о ( В) есть вся комплексная плоскость, так что В весьма далек от того, чтобы быть квазинильпотентным оператором. [41]
Говорят, что оператор А допускает замыкание, если он имеет по крайней мере одно расширение А:, являющееся замкнутым оператором. График Г оператора А является подмножеством замкнутого подпространства 1, - графика оператора At. Замыкание Г графика Г является тогда также подмножеством Г Л1оэтому Г можно рассматривать как график некоторого оператора А. Оператор А будет, очевидно, также замкнутым расширением оператора А. Это минимальное замкнутое расширение ( из проведенных рассуждений видно, что любое замкнутое расширение оператора А будет одновременно расширением оператора А) называется замыканием оператора А. [42]