Cтраница 1
Преобразуванията П, 3, Д, Л, Г и О като образуващи на fC2 ше отбе-лязваме съответно с П2, 32, Д2, Л2, Г2 и О2; те имат следния вид ( вж. [1]
Определянето на преобразуванията от групата на Лоренц е една класическа задача от анализа, решението на която ще скицираме. Лесно се получава една проста геометрична интерпретация на групата на Лоренц. [2]
В Алгебра на преобразуванията про-верихме и трите тъждества Gl, G2 и G3 от дефиницията на трупа. Следова-телно множеството от преобразува-ния на игралното поле на играта тър-пение, конто се получават от елемен-тарните преобразувания с помощта на операциите композиция и обръщане, образува трупа. Тя не е комутативна, защото например за елементарните преобразувания А и В не е вярно, че АВ - ВА. По-нататък ще видим, че всяка пермутационна игра поражда своя трупа от преобразувания, която в общия случай не е комутативна. [3]
Ако погледнем графиките на преобразуванията А и В на фиг. [4]
Засега разполагаме само с преобразуванията А, А-1, В и В-1. Не ни остава нищо друго, освен да разгледаме някои прости комбинации от тях, като същевременно чер-гаем и техните графики. [5]
Вече имаме формулите на преобразуванията Т - Гц, необходими за по-трудната част от подреждането на главоблъсканицата търпенш. Някои от тях обаче се получиха доста дълги и затова възниква въпросът за нами-ране на no - кратки изрази за същите преобразувания. Тъй като вече натру-пахме известен опит за програмира-нето на преобразувания, ще се опита-ме да скъсим формулите на тройните цикли. [6]
Като ком-бинираме преобразуванията ( 106Л) с преобразуванията, състоящи се от чисто пространствени транслации и ротации, съчетани с променяне на началото за отчитане на времето, получаваме най-общи преобразувания в класическата механика, конто свързват координатите и времето на едно събитие в галилеева система с координатите и времето на същото събитие във всяка друга галилеева система. Тези преобразувания обра-зуват трупа, наречена класическа галилеева група. [7]
Сега под преобразувание ще разби-раме произволна последователност от преобразуванията А, В, А-1, В-1 дру-ги цикли не се допускат. [8]
Нютоновите уравнения (113.1) и (113.2) не са инвариантни спрямо преобразуванията от групата на Лоренц, с конто в теорията на относителността се преминава от една галилеева координатна система към друга. Следователно те трябва да се изменят основно, за да се приспособят към специалната теория на относителността. При това мо-дифициране би трябвало да се ръководим от идеята, че новите уравнения трябва да се свеждат до старите при малки скорости. [9]
Следователно S A) е трупа; нарича се трупа на преобразуванията на множеството X. Често за някои конк-ретни множества X вместо групата S ( X) се взимат определени подмножества на S ( X), конто пак се оказват групи; те сыцо се наричат групи от преобразувания. Например в геомет-рията всички биекции на пространст-вото, конто запазват големините на отсечките, образуват трупа, конто се нарича трупа на еднаквостите. [10]
Понятието етер в абсолютен покой загуби по този начин всякакво значение и бе отхвърлено. Всички уравнения на физиката, отнесени към галилееви системи, трябва да са инвариантни спрямо преобразуванията на една и съща трупа; тази трупа трябва в частност да оставя инвариантни уравненията на Максуел, считани за точни. С тази именно трупа, наречена група на Лоренц, ще се занимаем сета. [11]
Описаният алгоритъм се използува за доказване на следващата теорема, която се отнася до разбърквания чрез разглобяване и сглобяване на играчката. При такова разбъркване играчката ще смятаме за подредена, ако е постигнато разположението на фиг. Това се налага, защото лесно може да се съобрази, че с преобразуванията А, А - В и В - [ е невъзможно да се осъществи ориентация ( завърта-не на 180) на луничките. [12]
Да разделим и задачата за подреждане на търпение на две части - лесна и трудна. Да допуснем, че сме на-местили буквата И. Те могат да бъ-дат поставени върху кръгчетата 2, 3, 6 и 9 точно по 12 различии начина, като един от тях е желаният. Всъщност, както се вижда от чертежа, четири от преобразуванията са обратни на други четири, така че се налага да търсим само седеМ преобразувания. В следва-щите параграфи ще разгледаме някол-ко метода, конто помагат за намиране на формули, осъществяващи преобразувания с желани свойства, но за да можем да говорим no - свободно за тях, ще въведем още няколко термина. [13]