Cтраница 2
Известно, что в ситуациях, когда в ходе дискуссии нет серьезных доводов или фактов, некоторые люди прибегают к ссылкам на авторитеты; особенно часто используются классики. Этот средневековый прием доказательства argumentum ipse dixit ( сам сказал) используется идеологами ppm - 2 очень широко [3.1-3.2], причем соответствующие цитаты приводятся без серьезного их анализа, без учета времени и условии, при которых отрывок был написан. [16]
Из этого следует, что предсказания всегда имеют конечный смысл и не могут быть экстраполированы на бесконечность. Поэтому мне представляется неправомерным самый прием доказательства: проверить, возможно ли предсказание событий на все время вплоть до бесконечности, и если оказывается, что нет, то считать, что это исключает любую возможность предсказания. [17]
Полезно обратить внимание на то, что прием доказательства, употребленный нами в трех предыдущих теоремах, один и тот же, а именно: отложив на стороне большего треугольника отрезок, равный сходственной стороне меньшего, и проведя прямую, параллельную другой стороне, мы образуем вспомогательный треугольник, подобный большему данному. После этого, в силу условия доказываемой теоремы и свойства подобных треугольников, мы обнаруживаем равенство вспомогательного треугольника меньшему данному и, наконец, делаем заключение о подобии данных треугольников. [18]
Недоказуемость теоремы Гудстейна, понимаемая в этом смысле, вряд ли может помешать нам убедиться в ее фактической справедливости. Наши интуитивные представления позволяют нам расширить действие тех ограниченных приемов доказательства, которыми мы воспользовались ранее. В действительности сам Гудстейн доказал свою теорему, прибегнув к разновидности метода, который называется трансфинитной индукцией. В контексте нашего изложения этот метод сводится к систематизации интуитивных ощущений, которые возникают в процессе знакомства с причиной, по которой теорема Гудстейна и в самом деле верна. Эти ощущения могут родиться практически целиком за счет изучения некоторого числа частных случаев указанной теоремы. И тогда станет видно, как скромная незаметная операция ( б) безжалостно отщипывает по кусочку от огромной башни показателей до тех пор, пока она не начинает постепенно таять и полностью исчезает, - хотя бы на это ушло и невообразимо большое число шагов. [19]
Мы можем исследовать конструктивность как самостоятельный предмет, отдельный от вопроса математического существования. Если мы последуем путем интуиционизма, то будем вынуждены отказаться от использования очень мощных приемов доказательства в математике, заметно ограничивая и лишая силы сам предмет. [20]
Во-первых, он хотел узнать, насколько самостоятельно Островский может решать трудные вопросы. Через два дня Островский пришел со своими доказательствами. Во-вторых, Граве дал Островскому свою книгу о квадратичной области, чтобы решить, насколько быстро тот способен читать трудные книги. Островский прочел ее в несколько дней и, придя к Граве, спорил о его приемах доказательства. После этого Граве принял его в свой семинар, где Островский выступал почти на всех заседаниях. [21]
Отставшей надвей, которая в деле даль - Табит ибн Курра. Алъмагани, Абу Джафар ных уравнений 2 - й степени, по своему утон - тия человечества готовилась выступить на Аяьхазин, астроном Алъ-Батттти ( изве-ченному остроумию превосходит реши - смену его последних по времени передовых стен своими работами по тригонометрии); тельно все, что было сделано в области представителей, индусов и греков, были ара - в X в. Вполне осуществить принимаемую ими ( последний известен своими работами по метод европейские математики, в лице Лаг - в этом на себя великую задачу им, однако геометрии), также известные работами по ранжа, вторично нашли независимо от же, не удалось. Если таким остановиться на самом начале следующего в XI веке: Ибн-Сина или в западно-евро-образом в области науки чисел индусы в периода самостоятельной деятельности. Алъбируни ( работы по ариф-то ничего подобнаго нельзя сказать о гео - индусов и греков, арабы в деле заимство - метике и геометрии), Абул-Джуд ( работы метрии, в области которой они далеко от - ваввя от тех и других сокровищ их науки по геометрии и алгебре), известные рабо-ставали от греков. К восточно-арабским математикам следует топов, должно быть отнесено к области при - ности знакомство греков с египетскими зна - причислить также и двух, действовавших ложений алгебры к геометрии. Египта: жившаго в X веке геометрии, в том виде, в каком она оформи - изводимое главным образом помощью уст - Ибн-Юнуса из Каира и жившаго в XI веке ровалась, напр. Действительно, переводов Ибн Алъгсштама. У западных арабов главное греческой едва-ли не следует видеть в раз - известно, совсем не было, в все, что они внимание было обращено на изучение аст-личии приемов доказательства, употребля - приобрели от индусов, было принесено к рономии. В то время как греки пользовались нами, отправлявшимися в Индостан, или преподавателей мы и знаем первых из из-для этого строго определенными логическими такими как Алъбируни, живавшими там вестных нам западно-арабских математиков: построениями, индусы ограничивались одним иногда долгое время, или приходившими Х - го в. [22]