Cтраница 1
Применение формулы Стирлинга показывает, что и2п имеет порядок 1 / я, так что ряд 2 а2п расходится. [1]
Доказательство связано с применением формулы Стирлинга, представляющей собой приближенное выражение факториалов больших чисел. Так как эта формула будет нам часто встречаться далее, то в приложении 1 ( стр. Положим, в ( 1 3) число молекул п равным как раз среднему v при очень большом значении последнего. [2]
Оценки теоремы получаются из (5.44) применением формулы Стирлинга. [3]
Но их оценка с помощью метода теории аналитических функций ( метода перевала) в сущности полностью эквивалентна применению формулы Стирлинга. [4]
Заметим, что в отличие от метода ящиков и ячеек Больцмана в приведенном выводе не возникает никаких трудностей, связанных с применением формулы Стирлинга, так как числа п [ N, V, E ( i N, V) ] пропорциональны числу экземпляров ансамбля /, которое может считаться сколь угодно большим. [5]
Другой статистический метод, введенный Дарвином и Фаулером, стремится избежать ограничений на распределения, которые являются соседними по отношению к наиболее вероятному, а также избежать применения формулы Стирлинга. [6]
Формула (15.15) верна лишь при достаточно больших л4, так как только тогда формула Стирлинга не вносит существенной ошибки. Системы, обьчно рассматриваемые в химии, содержат большое число частиц, вполне достаточное для применения формулы Стирлинга. [7]
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению закона Максвелла-Больцмана, необходимо указать на приближения и допущения, сделанные при его выводе. Во-первых, было принято, что молекулы отличимы одна от другой-это обстоятельство более подробно будет рассмотрено ниже при изложении квантовой статистики. Во-вторых, применение формулы Стирлинга для разложения в ряд ntl предполагает г что все ntl очень велики. Наконец, было сделано молчаливое допущение, что как / г., так и гг-являются непрерывными функциями. Такое допущение вполне приемлемо, если Л всегда велико, а кванты энергии малы, что, в частности, справедливо в случае поступательной энергии. Общая справедливость закона распределения, по крайней мере в рамках классической механики, установлена тем обстоятельством, что вполне возможно вывести точно такое же уравнение другими методами, не прибегая к сделанным здесь приближениям. Таким образом, предполагается, что системы состоят из идеальных газов, так как только в таких газах полностью отсутствуют межмолекулярные силы. Однако закон распределения Максвелла-Больцмана может применяться и к системам, несколько отклоняющимся от идеального состояния, причем ошибка не будет особенно серьезной. [8]
Если уровень не вырожден ( данному значению энергии соответствует только одно состояние), то ячейка совпадает с ящиком, если имеется вырождение, то энергетическому уровню - ящику - соответствует большее или меньшее количество ячеек. В квантовой механике доказывается, что основной энергетический уровень - уровень с наименьшей энергией - как правило, не вырожден. Заметим, что в теории, учитывающей квантование энергии, числа g - отнюдь не обязаны удовлетворять условию g - 1, необходимому для применения формулы Стирлинга. Поэтому метод ящиков и ячеек, с помощью которого были получены распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, становится здесь явно некорректным. Однако, как уже упоминалось в § 36, сами эти распределения остаются верными, и они будут получены вторично в § 64 другим, вполне корректным методом. [9]
Если уровень не вырожден ( данному значению энергии соответствует только одно состояние), то ячейка совпадает с ящиком, если имеется вырождение, то энергетическому уровню - ящику - соответствует большее или меньшее количество ячеек. В квантовой механике доказывается, что основной энергетический уровень - уровень с наименьшей энергией - как правило, не вырожден. Заметим, что в теории, учитывающей квантование энергии, числа g - отнюдь не обязаны удовлетворять условию g - 1, необходимому для применения формулы Стирлинга. Поэтому метод ящиков и ячеек, с помощью которого были получены распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, становится здесь явно некорректным. Однако, как уже упоминалось в § 36, сами эти распределения остаются верными, и они будут получены вторично в § 64 другим, вполне корректным методом. [10]