Cтраница 1
Применение формулы Гаусса для численного интегрирования позволяет получать результаты с большой точностью при вычислении значений функции в небольшом числе узлов и поэтому весьма выгодно. Однако здесь, возникают затруднения с оценкой погрешности получаемых результатов. Оценка производных высоких порядков ( остаточный член формулы Гаусса содержит производную / ( 2п) ( 1)), как уже было сказано в § 22, практически недоступна. [1]
В заключение приведем вычислительный пример на применение формул Гаусса и Маркова. [2]
Если вычисляется интеграл от аналитической функции и число узлов задано, то представляется наиболее разумным применение формул Гаусса, поскольку они точны для многочленов максимальной степени; оценку погрешности разумно проводить по описанной выше процедуре. [3]
Для конкретных упругих систем эти равенства доказываются интегрированием по частям ( если система одномерна) или применением формулы Гаусса - Остроградского. [4]
Обращение в нуль этих интегралов можно получить с помощью формальных выкладок на основании асимптотической формулы (12.24) и с применением формулы Гаусса - Остроградского к области, внешней к поверхности Е, в которой потенциал скоростей регулярен. [5]
При обобщении теории на рассматриваемый случай можно было бы действовать, как в предыдущем пункте, но мы предпочитаем иной метод, развитый в книге By [3] и основанный на применении формулы Гаусса - Бонне. Ниже мы убедимся, что именно этот член и приводит к добавкам во второй основной теореме, отличающим рассматриваемый здесь случай от рассмотренного в предыдущей главе. [6]
Обратим внимание еще на одно удобство использования формул Гаусса сразу по всему отрезку интегрирования. Не нужно оценивать число ро ограниченных производных подынтегральной функции и в соответствии с этим выбирать наиболее подходящую формулу численного интегрирования по отрезкам разбиения - при применении формул Гаусса порядок погрешности О ( N - p) обеспечивается автоматически. Если производные более высокого порядка, чем ро, обращаются в бесконечность только на концах отрезка интегрирования, то обычно порядок сходимости формул Гаусса еще лучше. [7]
Обратим внимание еще на одно удобство использования формул Гаусса сразу по всему отрезку интегрирования. Не нужно оценивать число q0 ограниченных производных подынтегральной функции и в соответствии с этим выбирать наиболее подходящую формулу численного интегрирования по отрезкам разбиения - при применении формул Гаусса порядок погрешности O ( N-CI) обеспечивается автоматически. Конечно, не нужно думать, что формула, имеющая более высокий порядок скорости сходимости, при конкретном числе узлов всегда точнее формулы более низкого порядка скорости сходимости. [8]
Неудобство применения квадратурной формулы Гаусса состоит в том, что абсциссы / и коэффициенты Л -, вообще говоря, иррациональные числа. Этот недостаток искупается ее высокой точностью при сравнительно малом числе узлов интегрирования. В тех случаях, когда подынтегральная функция сложна и на вычисление ее значений в каждом узле интегрирования требуется много времени, применение формулы Гаусса особенно выгодно. [9]
Отметим особенность выражения (1.85), состоящую в росте количества вычислений вместе с номером шага дискретизации из-за увеличения членов суммы, причем значения коэффициентов AjKt / при у / меняются для каждого i, что в общем случае не позволяет воспользоваться результатами вычислений на предыдущих шагах. Кроме того, имеются особенности в применении различных квадратурных формул. Например, применение формулы Симпсона должно чередоваться для нечетных узлов с каким-либо другим правилом, например с формулой прямоугольников или формулой трапеций. Возникают сложности при применении формул Гаусса, Маркова, Чебышева. Достаточно простым и во многих случаях эффективным является применение формулы трапеций. [10]
Понтера по гидродинамике неоднократно приводили его к необходимости оперировать с функциями, которье не имеют достаточного числа производных для того, чтобы к ним можно было применять обычные д ЕЯ рассматриваемою вопроса методы рассуждения. В ряде работ Гюнтер применяет к такого рода вопросам анализа метод сглаживания. Этот метод, неоднократно применявшийся в работах В. А. Стеклова, состоит в замене функции интегралом от нее по малому переменному промежутку ( х, л: - ] - / г), деленному на длину / г этого промежутка. Этот прием может применяться и в случае нескольких переменных. Полученную таким образом функцию Гюнтер называл обычно функцией Стеклова. В этой работе он занимается прежде всего решением уравнений rot X А и gradXl, где А - заданный вектор, являющийся непрерывной функцией точки, и X - искомый вектор. Наличие производных у составляющих заданного вектора не предполагается. В работе дается необходимое и достаточное условие разрешимости упомянутых уравнений. Если построить векторный ньютонов потенциал В, приняв за плотность заданный вектор А то для разрешимости первого из указанных уравнений необходимо и достаточно, чтобы div В была гармонической функцией, а для разрешимости второго уравнения необходимо и достаточно, чтобы rotS был гармоническим вектором. В этой же раГоте Гюнтер рассмотрел задачу в другой постановке, а именно - он заменил упомянутые уравнения интегральными соопюшениями, которые получаются интегрированием уравнений по некоторой области и применением формулы Гаусса. [11]