Cтраница 1
Принцип Лапласа предъявляет аналогичное требование к сумме абсолютных значений ( модулей) этих отклонений. [1]
Более того, этот принцип Лапласа содержит и формулу полной вероятности, которой с начала XVIII века широко пользовались в своих работах многочисленные математики, работавшие в области теории вероятностей. Они понимали как использовать принцип, заложенный в формуле полной вероятности, но его не формулировали. [2]
Имеем два ( в пределе эквивалентных) определения того Центра, который удовлетворяет принципу Лапласа и называется медианой. Для дискретного ряда медиана является средним членом совокупности, расположенной в возрастающем ( или убывающем) порядке. Для генеральной совокупности измерений, представляющей собой всевозможные значения измерений с их вероятностями, медиана является абсциссой той точки, которая Делит площадь кривой плотности вероятности пополам. [3]
Переходя к практической стороне, нужно прежде всего отметить, что принцип Лежандра, детально разработанный главным образом Гауссом, получил в литературе гораздо большее развитие, чем принцип Лапласа. Можно отметить, что даже сам Лаплас, подчеркивая идейное преимущество медианы перед средним арифметическим, констатировал наличие известных формальных трудностей при использовании медианы в случае измерения двух и более величин. [4]
Если же ко всему этому добавить, что применение медианы вместо среднего автоматически устраняет или только ослабляет влияние выскакивающих подозрительных по своей маловероят-ности измерений, то станет ясно, что метод Эджуорса, основанный на принципе Лапласа, заслуживает, хотя бы в линейных задачах, равноправного положения со способом наименьших квадратов, а в некоторых случаях его можно даже предпочесть последнему. [5]
Йод эту общую схему можно подвести также простейший частный случай, когда т 0 и имеется лишь один искомый параметр GO, который будет равен среднему значению, согласно принципу Лежандра, и медиане, согласно принципу Лапласа. [6]
Поэтому в дальнейшем будем вынуждены гораздо подробнее излагать метод Лежандра-Гаусса. Что же касается принципа Лапласа, то здесь ограничимся изложением графо-аналитиче-ского метода, предложенного английским статистиком Эджуор-сом и малоизвестного в литературе. [7]
Обычно именно благодаря наглядности графика получаем первую возможность установить форму связи. Дальнейший же ход процесса отыскания этой формы зависит от принятия определенного руководящего принципа. Поэтому предыдущее изложение вынуждает нас в дальнейшем остановиться на одном лишь принципе Лежандра, поскольку принцип Лапласа, при всех его достоинствах, а иногда и преимуществах, практически далее линейных зависимостей до сих пор не был продвинут. [8]
Эти три одинаково недосказанных и недоказуемых положения практически почти всегда оправдываются, хотя это почти, подчеркивающее их ограниченность, побуждает излагать их в критическом разрезе. Тогда оказывается, что медиана имеет такое же, а иногда и большее право считаться центром распределения, как и среднее арифметическое. Мало того, оказывается, что постулат Гаусса о наибольшей вероятности среднего арифметического оправдывается лишь тогда, когда среднее совпадает с медианой, так как нормальное распределение может иметь силу лишь при достаточной малости отклонений по сравнению с измеряемой величиной. И, накоцец, известно, что равноправный принципу Лежандра принцип Лапласа, ставящий на место суммы квадратов отклонений суммы их модулей, если и не получил большого развития, то только потому, что математические операции, связанные с ним, оказались более громоздкими. Это чисто практическое соображение, конечно, отнюдь не подрывает доверия к принципу Лапласа в теоретическом смысле. [9]
В главе Общие принципы теории вероятностей Лаплас сформулировал принцип VI, который относится к вероятности гипотез или, как он писал, вероятности причин. Вот формулировка, данная Лапласом: Вероятность существования какой-либо из этих причин равна, следовательно, дроби, числитель которой есть вероятность события, вытекающая из этой причины, а знаменатель есть сумма подобных вероятностей, относящихся ко всем причинам; если эти различные причины, рассматриваемые a priori, не одинаково вероятны, то вместо вероятности события, вытекающей из каждой причины, следует взять произведение этой вероятности на вероятность самой причины. Таким образом, Лаплас словесно сформулировал известное правило Байеса. Более того, этот принцип Лапласа содержит и формулу полной вероятности, которой с начала XVIII в. Они понимали, как использовать принцип, заложенный в формуле полной вероятности, но его не формулировали. [10]
Эти три одинаково недосказанных и недоказуемых положения практически почти всегда оправдываются, хотя это почти, подчеркивающее их ограниченность, побуждает излагать их в критическом разрезе. Тогда оказывается, что медиана имеет такое же, а иногда и большее право считаться центром распределения, как и среднее арифметическое. Мало того, оказывается, что постулат Гаусса о наибольшей вероятности среднего арифметического оправдывается лишь тогда, когда среднее совпадает с медианой, так как нормальное распределение может иметь силу лишь при достаточной малости отклонений по сравнению с измеряемой величиной. И, накоцец, известно, что равноправный принципу Лежандра принцип Лапласа, ставящий на место суммы квадратов отклонений суммы их модулей, если и не получил большого развития, то только потому, что математические операции, связанные с ним, оказались более громоздкими. Это чисто практическое соображение, конечно, отнюдь не подрывает доверия к принципу Лапласа в теоретическом смысле. [11]