Cтраница 1
Принцип прямейшего пути ( наименьшей кривизны принцип, Герца принцип): всякая свободная система пребывает в своем состоянии покоя или равномерного движения вдоль прямейшего пути. Герц понимает систему, не подверженную действию активных сил и стесненную только внутренними связями, накладывающими условия лишь на взаимное расположение точек системы. [1]
Герц 2, разработавший принцип прямейшего пути; ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. [2]
Следовательно, мы можем сформулировать упомянутый выше принцип прямейшего пути так: для материальной системы с двухсторонними идеальными и не зависящими от времени связями, на которую не действуют активные силы, естественное движение, начиная от какого-нибудь состояния движения, происходит с постоянной скоростью и так, что во всякий момент кривизна траектории в представляющем пространстве Е имеет минимум по сравнению со всеми другими траекториями, совместными со связями. [3]
В этом пространстве принцип Гаусса может быть сформулирован как принцип прямейшего пути. Такая интерпретация устанавливает тесную связь между принципом Гаусса и принципом Якоби. [4]
Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892 - 1893 гг. Герц), разработавший принцип прямейшего пути; ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. [5]
К первому классу относятся принцип возможных перемещений Бернулли, принцип сил инерции Д Аламбера, принцип наименьшего принуждения Гаусса и принцип прямейшего пути Герца. Все эти вариационные принципы можно охарактеризовать как дифференциальные принципы, поскольку они вводят в качестве характерного признака действительного движения свойство движения, которое имеет значение для одного-единственного момента или элемента времени. Для систем механики все эти принципы эквивалентны и законам - движения Ньютона, и между собою. Но все они страдают тем недостатком, что имеют смысл только для механических процессов и что их формулировка делает необходимым пользоваться специальными координатами точек рассматриваемой материальной системы. Их формулировка, в зависимости от выбора координат точки, совершенно различна, и даже, чаще всего, относительно сложна и мало наглядна. [6]
Тенденция эта вызвана возможностью изучения движения механических систем как движения изображающей точки в пространстве обобщенных координат, в фазовом пространстве и в расширенном фазовом пространстве с привлечением принципа прямейшего пути Герца и стационарного действия в форме Якоби, а также понятия интегральных инвариантов. [7]
Гаусса и принципа прямейшего пути Герца; эти принципы не только равносильны принципу виртуальной работы, но и прямо могут быть сведены к тому общему уравнению динамики, для которого они составляют только две новые интерпретации. [8]
Герц полностью исключил всякие телеологические умозаключения из своего принципа, так как в нем не содержится никакого выражения определения настоящего через будущее. Сам Герц показал, что принцип прямейшего пути непосредственно связан с принципом наименьшего действия в форме Якоби и с принципом Гамильтона. [9]
Больцмана-Бо - лотова [7, 13] получаем следующую форму принципа наименьшей кривизны: в координатном пространстве Герца на множестве траекторий мыслимых движений, в которых касательные ускорения материальных точек равны касательным ускорениям в их действительном движении, траектория действительного движения системы со связями имеет наименьшую относительную кривизну по отношению к траектории действительного же движения системы, полученной освобождением от всех неудерживающих и от любой части удерживающих, связей. Обобщение принципа, данное Сингом, и принцип прямейшего пути Герца являются частными случаями полученных утверждений. [10]
Оно применимо к системам с нестационарными и неудерживающими связями на множестве траекторий мыслимых движений, в которых касательные ускорения материальных точек равны касательным ускорениям в их действительном движении. Из полученного принципа как частный случай следуют обобщение принципа, данное Сингом, и принцип прямейшего пути Герца. [11]
Если, например, мы имеем одну материальную точку, движущуюся по идеальной стационарной неосвобождающей поверхности, то кратчайшая линия, соединяющая два ее положения, будет геодезической линией поверхности. Для плоскости геодезической линией, соединяющей две точки, будет прямая. Соотношение ( 48) часто называют принципом прямейшего пути. [12]
Механическое движение с этой точки зрения рассматривается как непрерывное саморазвертывание касательного преобразования. Было выяснено, что разыскание движения голономных систем со связями, независимыми от времени под действием сил, имеющих потенциал, может быть сведено к задаче геодезических линий. Механика Герца, основанная на его принципе прямейшего пути, была геометризована в п-мерном пространстве; однако она, несмотря на последовательность построения, оказалась малоплодотворной в силу сложной замены сил связями со скрытыми, вообще говоря, системами. [13]
В своей формулировке: каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей, Герц объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией поверхностей и многочисленные аналогии, которые возникают при его рассмотрении. Принцип Герца находится в тесной связи с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами - Липшица, так как между прямейшими путями и нормальными к ним поверхностями в процессе движения имеет-место то же соотношение, что и между лучами и волновыми поверхностями. Герц полностью исключил всякие теологические умозаключения из своего, принципа, так как в нем настоящее не определяется через будущее. Сам Герц показал, что принцип прямейшего пути непосредстенно связан с принципом, наименьшего действия в форме Якоби и с принципом Гамильтона. [14]