Cтраница 1
Принцип сохранения фазового объема позволяет дать ответ на важный вопрос о том, вернется ли рассматриваемая система с течением времени к своей первоначальной фазе, или, если она не вернется к этой фазе в точности, произойдет ли это с любой требуемой степенью приближения в течение достаточно долгого времени. [1]
Принцип сохранения фазового объема требует, чтобы объем, ограниченный таким образом, имео. [2]
Принцип сохранения фазового объема позволяет дать ответ на важный вопрос о том, вернется ли рассматриваемая система с течением времени к своей первоначальной фазе, или, если она не вернется к этой фазе в точности, произойдет ли это с любой требуемой степенью приближения в течение достаточно долгого времени. [3]
Но принцип сохранения фазового объема, который был доказан именно во втором из приведенных выше доказательств, независимо от какого бы то ни было указания на ансамбль систем, требует, чтобы значения кратных интегралов в этом нии были равны друг другу. [4]
Полезность принципа сохранения фазового объема состоит в том, что он дает нам мно / китель, который делает уравнение интегрируемым и который иначе было бы трудно или невозможно найти. [5]
В третьей главе мы применяем принцип сохранения фазового объема к интегрированию дифференциальных уравнений движения. Таким образом, как показал Больцман, мы получаем последний множитель Якоби. [6]
Это положение является непосредственным следствием принципа сохранения фазового объема, если только мы не предпочитаем рассматривать его как несколько измененное выражение этого принципа. Пусть А и В-объемы, образованные за равные короткие промежутки времени. Мы берем короткие промежутки лишь для того, чтобы избежать усложнений в формулировке или интерпретации принципа, которые возникают, если один и тот же фазовый объем образуется более чем один раз в течение рассмотренного промежутка времени. Ее ли мы теперь представим себе, что в какой-либо заданный момент системы распределены в объеме А, то очевидно, что эти же системы через некоторое время заполняют объем В, равный Л, в силу упомянутого принципа. Фронт ансамбля, таким образом, за равные промежутки времени образует равные объемы. Раньше или позже, следовательно, фронт должен образовать фазы, которые он образовал ранее. Подобное вторичное образование тех же самых фаз должно начинаться с первоначальных фаз. Поэтому хотя бы часть фронта должна вернуться к первоначальному объему. То же самое, разумеется, справедливо и для части ансамбля, которая следует за этой частью фрснта, проходя в более позднее время через те же самые фазы. [7]
Данная формулировка теоремы Лиувилля может быть названа принципом сохранения фазового объема. [8]
Для пространства переменных дг и дг аналогичные общие соотношения, в частности принцип сохранения фазового объема, выведены быть не могут. Этим объясняется то предпочтение, которое в статистической физике оказывают каноническим переменным. [9]
Но интегрирование дифференциальных уравнений движения состоит в определении этих постоянных в виде функций координат, импульсов и времени, и соотношение, выражаемое принципом сохранения фазового объема, может помочь при этом определении. [10]
Несколько иной случай получается, если силы определяются не только координатами, но являются функциями координат и времени. Мы не можем уже воспользоваться принципом сохранения фазового объема раньше, чем осуществлено 2я - 1 интегрирование. [11]
При этом форма области может значительно изменяться без особых ограничений, в соответствии с изменением в фазе составляющих ее систем, но объем, заключенный внутри такой гипотетической оболочки, остается неизменным. Хотя, строго говоря, этот вывод был доказан лишь для небольшого объема, характеризующегося равномерной плотностью, его можно распространить на любую область, так как ее можно представлять состоящей из областей меньшего размера. Этот вывод, непосредственно вытекающий из уравнения (46.12), о постоянстве объема любой протяженности в у-пространстве, был назван принципом сохранения фазового объема. [12]
Можно указать следующий путь рассуждений, на котором возникает ответ на этот вопрос в предположении, что полный фазовый объем для систем, заключенных между двумя граничными значениями энергии, конечен. Пусть в начальный момент времени системы заполняют некоторый объем Г фазового пространства. Выходящие при этом системы ( фронт ансамбля) порождают, образуют фазовый объем, через который они с течением времени проходят. Согласно принципу сохранения фазового объема в равные промежутки времени фронт ансамбля образует равные фазовые объемы. [13]
Иначе говоря, объем, занимаемый фазовыми точками совокупности изолированных систем, при изменении состояния систем остается постоянным и может изменяться только по форме. Этот вывод можно распространить на объем любого размера, движущийся в энергетическом слое, так как всякий объем можно представить как сумму малых объемов. Итак, всякий фазовый объем, занятый заданным числом фазовых течек, при своем движении в энергетическом слое соответственно изменению состояния систем ансамбля остается неизменным по величине. Данная формулировка теоремы Лиувилля может быть названа принципом сохранения фазового объема. [14]