Cтраница 1
Принцип точки сгущения является теперь прямым следствием принципа стягивающихся областей. Действительно, пусть в области О задано бесконечное множество точек. Разделим квадрат х С, у sg; С, внутри которого содержится это множество, на четыре равных квадрата со стороной С. Если к каждому из этих квадратов присоединить его границу, то по крайней мере в одном из четырех квадратов, назовем его Q1; должно лежать бесконечно много точек заданного множества. [1]
Интуитивно принцип точки сгущения для случая многих измерений столь же ясен, как и для одного измерения. [2]
Из принципа точки сгущения для многих измерений вытекают совершенно такие же следствия, как и для одного измерения. Так как и доказательства аналогичны, то можно ограничиться только формулировкой некоторых наиболее важных положений. [3]
Согласно принципу точки сгущения, числа ип должны иметь точку сгущения и числа должны иметь ту же точку сгущения. [4]
В основу строгого изложения анализа обыкновенно кладут принцип точки сгущения Вейерштрасса. [5]
Определение действительного числа с помощью гнезда интервалов образует существенную основу доказательства принципа точки сгущения Вейерштрасса. [6]
Принцип точки сгущения утверждает, что последовательность имеет по крайней мере одну точку сгущения. [7]
Еще одно следствие принципа точки сгущения представляет теорема о покрытии Гейне - Бореля, полезная для многих доказательств и более тонких исследований. [8]
В основу мы опять положим принцип точки сгущения Больцано - Вейерштрасса. Пару чисел ( х, у ] мы будем называть точкой Р в пространстве двух измерений и изображать, как обычно, точкой с прямоугольными координатами х и у на плоскости ху. [9]
При доказательстве можно ограничиться случаем, когда fn ( x, у) монотонно возрастает или монотонно не убывает ( первое неравенство), - при втором предположении рассуждение аналогично. Приводимое здесь доказательство от противного представляет собой типичный пример применения принципа точки сгущения. [10]