Cтраница 3
Эта теорема применима к очень широкому классу свойств. Один удивительный вариант этой теоремы ( Коллинз [54]) гласит, что она остается верной и в случае, когда обо всех рассматриваемых представлениях предполагается заранее даже то, что проблема слов в них разрешима. Может показаться, что если для всех рассматриваемых представлений разрешима проблема слов, то все, что нужно сделать для выяснения, задает ли представление тривиальную группу, - это проверить, представляют ли все образующие единицу. Однако это не означает существование алгоритма, выясняющего, задает ли представление тривиальную группу, поскольку переход от представления к алгоритму, решающему проблему слов, может быть не алгоритмическим. [31]
При этом дедуктивная цепочка, ведущая от какого-либо слова R к слову Q, будет представлять собой путь в лабиринте, ведущий от одной площадки к другой. Значит, эквивалентности слов соответствует взаимная достижимость каждой из площадок, если отправляться от другой. Наконец, при такой трактовке сама проблема слов становится проблемой поиска пути в бесконечном лабиринте. [32]
Иногда бывает важно определить, вляются ли заданные слова и и v эквивалентными. Конечно, если попытка преобразовать слово и в слово v путем элементарных расширений и сокращений приведет к успеху, вопрос будет исчерпан. Нужен некий стандартный прием решения этого вопроса. Проблема нахождения такого стандартного приема обычно называется проблемой слов для свободной группы F А. Она очень проста и решается следующим образом. [33]
Эта теорема применима к очень широкому классу свойств. Один удивительный вариант этой теоремы ( Коллинз [54]) гласит, что она остается верной и в случае, когда обо всех рассматриваемых представлениях предполагается заранее даже то, что проблема слов в них разрешима. Может показаться, что если для всех рассматриваемых представлений разрешима проблема слов, то все, что нужно сделать для выяснения, задает ли представление тривиальную группу, - это проверить, представляют ли все образующие единицу. Однако это не означает существование алгоритма, выясняющего, задает ли представление тривиальную группу, поскольку переход от представления к алгоритму, решающему проблему слов, может быть не алгоритмическим. [34]
Эта теорема применима к очень широкому классу свойств. Один удивительный вариант этой теоремы ( Коллинз [54]) гласит, что она остается верной и в случае, когда обо всех рассматриваемых представлениях предполагается заранее даже то, что проблема слов в них разрешима. Может показаться, что если для всех рассматриваемых представлений разрешима проблема слов, то все, что нужно сделать для выяснения, задает ли представление тривиальную группу, - это проверить, представляют ли все образующие единицу. Однако это не означает существование алгоритма, выясняющего, задает ли представление тривиальную группу, поскольку переход от представления к алгоритму, решающему проблему слов, может быть не алгоритмическим. [35]