Cтраница 1
Произведение морфизмов в категории Л RI определяется покомпонентно. [1]
В дальнейшем запись d g будет употребляться лишь в случае, когда произведение морфизмов зС я & определено. Ввиду ассоциативности умножения морфизмов ш будем очень часто в записи произведения морфизмов, состоящего более, чем из двух сомножителей, опускать скобки. [2]
Иначе говоря, морфизм б называется мономорфизмом, если в каждом равенстве произведений морфизмов на в можно сокращать справа. [3]
Иначе говоря, морфизм 0 называется эпиморфизмом, если в каждом равенстве произведений морфизмов на 9 можно сокращать слева. [4]
Практически двойственное высказывание получается из исходного сохранением логической структуры высказывания и заменой в его формулировке всех стрелок на противоположные, а всех произведений морфизмов на произведения морфизмов, записанные в обратном порядке. [5]
Практически двойственное высказывание получается из исходного сохранением логической структуры высказывания и заменой в его формулировке всех стрелок на противоположные, а всех произведений морфизмов на произведения морфизмов, записанные в обратном порядке. [6]
Построим теперь по монаде Т категорию Клейсли Лг, положив Ob RT Ob К и Н т ( А, В) Ня ( А, Т ( В)) для любой пары объектов Л, В е Кт - Произведение морфизмов а: А - В и Р: В - С в категории Яг определяется по формуле а Р аГ ( Р) ( ic, где аГ ( Р) цс - произведение морфизмов в категории St. Тождественное на объектах отображение Fr: St - Str, при котором / гг ( а) аев для каждого морфизма а: Л - Ве, является функтором. Полагая Рт ( А) - Т ( А) для каждого объекта Лейги Рг ( а) Г ( а) цв для каждого морфизма а: А - В категории К т, где в выражении Г ( а) цв а рассматривается как морфизм а: А - Т ( В) категории К, получим функтор РТ: Str - St. [7]
Построим теперь по монаде Т категорию Клейсли Лг, положив Ob RT Ob К и Н т ( А, В) Ня ( А, Т ( В)) для любой пары объектов Л, В е Кт - Произведение морфизмов а: А - В и Р: В - С в категории Яг определяется по формуле а Р аГ ( Р) ( ic, где аГ ( Р) цс - произведение морфизмов в категории St. Тождественное на объектах отображение Fr: St - Str, при котором / гг ( а) аев для каждого морфизма а: Л - Ве, является функтором. Полагая Рт ( А) - Т ( А) для каждого объекта Лейги Рг ( а) Г ( а) цв для каждого морфизма а: А - В категории К т, где в выражении Г ( а) цв а рассматривается как морфизм а: А - Т ( В) категории К, получим функтор РТ: Str - St. [8]
По графу G построим категорию ( G), для которой ОЬЯ ( С) есть класс вершин графа G, a Mor № ( G) - класс путей в графе G, включая и пустые пути. Произведение морфизмов в категории ffi ( G) определяется как добавление к одному пути другого, начало которого совпадает с концом первого пути; единичными морфизмами являются пустые пути из любой вершины в себя. [9]
Категории 1) - 4) являются примерами категорий, объектами которых служат множества, наделенные некоторой структурой, а морфизмами-отображения множеств, согласованные с заданной структурой. Произведение морфизмов в этих категориях определяется как суперпозиция отображений, а единичный мор-физм - как тождественное отображение множества на себя. Такого рода категория называется категорией структуризованных множеств. [10]
В дальнейшем запись d g будет употребляться лишь в случае, когда произведение морфизмов зС я & определено. Ввиду ассоциативности умножения морфизмов ш будем очень часто в записи произведения морфизмов, состоящего более, чем из двух сомножителей, опускать скобки. [11]
Из существования для каждой категории двойственной категории вытекает наличие в теории категорий принципа двойственности, согласно которому для каждого высказывания исчисления предикатов [ 12J относительно категорий существует двойственное высказывание. Практически двойственное высказывание получается из исходного сохранением логической структуры высказывания и заменой в его формулировке всех входящих в него стрелок на противоположные, а всех встречающихся в формулировке произведений морфизмов произведениями морфйзмов, записан - ними в обратном порядке. [12]
Категория К состоит из объектов и морфизмов. Для каждой тройки объектов А, В и С задано отображение Мог ( А, В) хМог ( В, С) - Мог ( А, С), позволяющее говорить о композиции - произведении морфизмов. [13]
Будут определены три категории, называемые синтаксическими. Основная категория, F, является G-индуцируемой алгеброй отношений, рассматриваемой как категория. F - категория, поскольку ( i) композиция выводов, которая ассоциативна, совпадает с произведением морфизмов и ( п) для каждого объекта Э 6-тождественный вывод является в категории тождеством для 6 по отношению к операции композиции выводов. [14]
Для каждого объекта а в ( я, а) имеется по крайней мере один морфизм - тождество на а. Функтор из одной категории в другую - это пара функций: функция объектов отображает объекты в объекты, а функция морфизмов отображает морфизмы в морфизмы, сохраняя тождества и произведения морфизмов. [15]