Cтраница 1
Произведения элементов группы всегда обладают свойством ассоциативности. Это означает, что, если имеется последовательность применения нескольких операций симметрии, они могут быть сгруппированы любым образом, не повлияв на окончательный результат, при условии, что порядок их применения сохраняется. [1]
В общем случае произведение элементов группы не обладает свойством коммутативности. Это означает, что результат последовательного применения операций симметрии зависит от того порядка, в котором они применяются. Результат различается в зависимости от того, применяется ли сначала операция С3, а затем ст или же. Произведение операции идентичности с любым элементом группы обладает свойством коммутативности по определению. [2]
Каждый элемент С является произведением элементов группы движений пространства К, растяжения и инверсии. Для растяжений и движений пространства К требуемое утверждение очевидно. [3]
G сопоставим подстановку ох: а - ах элементов группы G. Ясно, что произведению элементов групп соответствует произведение сопоставленных им подстановок ( если считать первым действующим левый множитель) и группа G изоморфна так построенной группе подстановок. Сопоставление х - ах называется регулярным представлением конечной группы подстановками. [4]
С сопоставим подстановку ах: а - ах элементов группы С. Ясно, что произведению элементов групп соответствует произведение сопоставленных им подстановок ( если считать первым действующим левый множитель) и группа G изоморфна так построенной группе подстановок. Сопоставление х-аж называется регулярным представлением конечной группы подстановками. [5]
Y соответствует путь ф - Фч в пространстве X. Таким образом, произведению петель в пространств У отвечает произведение элементов группы G. [6]
При помощи квадратной таблицы символов, которую мы назвали таблицей умножения группы и свойства которой были разобраны в гл. Такая таблица задает группу, поскольку в ней указаны все произведения элементов группы. [7]
Поэтому представлением 1 - й степени группы G является соответствие, при котором каждому элементу группы G отвечает комплексное число, причем произведению элементов группы отвечает произведение соответствующих комплексных чисел. Например, отображение, при котором четным подстановкам симметрической группы отвечает число 1, а нечетным-число - 1, будет представлением 1 - й степени. [8]
Если мы попытаемся понять, что стоит за формальным аппаратом тензорного исчисления, который используется в общей теории относительности, то неизбежно придем к общему понятию ковариантной величины. Ко вариантная величина определенного типа задается относительно допустимой системы отсчета f с помощью конечного набора компонент Xit... Произведению элементов S группы Г соответствует произведение соответствующих линейных преобразований II tfj ( S) II. В этом случае мы говорим о представлении группы Г линейными подстановками, а именно это представление определяет тип ( 3 ковариантной величины. В последние десятилетия была детально разработана теория представлений непрерывных групп Ли, в которой замечательным образом слились воедино алгебраический, дифференциальный и интегральный метод. Мы видим, что Штуди напрасно сокрушался о пррблемах якобы выброшенных за борт релятивистами: именно развитие общей теории относительности позволило подойти к решению этих проблем на гораздо более высоком уровне, о котором и не помышлял формально мысливший Штуди. Весьма важной для представлений линейной группы оказалась симметрия характеров, изученная А. Для ортогональной группы Картан открыл огромное количество неприводимых двузначных представлений, не менее многочисленных, чем однозначные. [9]
Число элементов N группы называется ее порядком. Это число может быть и бесконечным. Вообще произведение элементов группы не обладает коммутативным законом: ab Ьа. Если же коммутативный закон справедлив для всех элементов группы, то группа называется абелевой группой. [10]
Пусть, наоборот, fy - любая алгебра Картана в д, и пусть § - наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая Ijj. Тогда наименьшая алгебраическая группа ф, содержащая фи нильпотентна ( следствие предложения 10 § 3 гл. В частности, cz, и множество произведений элементов группы ф на элементы группы Л является группой, содержащей Л - в качестве нормального делителя конечного индекса. Так как - алгебраическая группа, то тем же свойством обладает фЛ7 ( том II, предложение 3 из § 3 гл. [11]
Если группа изоморфна некоторой подгруппе матриц, то с алгебраической точки зрения она неотличима от этой подгруппы матриц, тождественна ей. Но на множестве матриц помимо групповой операции ( умножения матриц) определены еще операции умножения матриц на скаляры и сложения. Это позволяет придать смысл таким понятиям, как произведение элемента группы и скаляра или сумма двух элементов группы. Разумеется, результат выполнения дополнительных ( по отношению к групповой операции - умножению) операций не обязательно должен принадлежать группе и в большинстве случаев не принадлежит ей. Дополнительные операции, как правило, выводят из группы. Незамкну-тосты группы относительно сложения элементов и умножения их на скаляры означает, что, перебирая произведения элементов группы и скаляров и образуя из них всеми возможными способами суммы, мы получаем элементы более широкого ( по сравнению с исходной группой) кольца. [12]
Если группа изоморфна некоторой подгруппе матриц, то с алгебраической точки зрения она неотличима от этой подгруппы матриц, тождественна ей. Но на множестве матриц помимо групповой операции ( умножения матриц) определены еще операции умножения матриц на скаляры и сложения. Это позволяет придать смысл таким понятиям, как произведение элемента группы и скаляра или сумма двух элементов группы. Разумеется, результат выполнения дополнительных ( по отношению к групповой операции - умножению) операций не обязательно должен принадлежать группе и в большинстве случаев не принадлежит ей. Дополнительные операции, как правило, выводят из группы. Незамкну-тосты группы относительно сложения элементов и умножения их на скаляры означает, что, перебирая произведения элементов группы и скаляров и образуя из них всеми возможными способами суммы, мы получаем элементы более широкого ( по сравнению с исходной группой) кольца. [13]