Cтраница 1
Узловое произведение и полупрямое произведение тесно связаны друг с другом. [1]
Рассмотрим узловое произведение ( Х2, G) w ( Xb S), где G - простая слева полугруппа ( например, группа) и S - моноид. G) w ( Xb S) - - ь - естественная проекция, легко видеть, что рг - гомоморфизм. [2]
Пусть символ Л обозначает подполугруппу узлового произведения ( Qg е8) w ( Q /, f5), порожденную множеством элементов а: а 6 Л, и пусть символ ф обозначает единственное расширение отображения а - а до эпиморфизма полугруппы 2Л в полугруппу А ( см. пункт 1.4 е гл. [3]
Рассматривая теперь каждый элемент полугруппы Т как элемент узлового произведения, легко видеть, что два элемента имеют одинаковую первую координату тогда и только тогда, когда они одинаково действуют ыа правые символы. [4]
Если 5 - комбинаторная полугруппа, то 5 делит узловое произведение полугрупп U3 - Мы покажем, что РР ( Sf) s есть комбинаторная полугруппа. [5]
Это доказывается при помощи индукции по п и на основе того факта, что узловое произведение моноидов является. [6]
Тогда, как и в случае 2, можно собрать соседние члены для получения ( X, S), делящего узловое произведение, в котором группы преобразований чередуются с комбинаторными полугруппами преобразований. [7]
При данном определении делимости полугруппа Рц ( Хп) всех отображении на множестве из п символов неприводима относительно полупрямых произведений, а следовательно, и относительно узловых произведений. Так как каждая полугруппа является подполугруппой в FK ( Xn) при некотором п, мы оказываемся в малоинтересной ситуации, когда каждая полугруппа делит неприводимую полугруппу. Следовательно, это определение делимости не удобно. [8]
В принятой системе обозначений из равенства С ( S) ( п, G), например, следовало, что все минимальные разложения 5 в узловые произведения имели длину п, причем первая координата ( справа) была групповой. [9]
Таким образом, хотя в общем случае не существует полупрямого произведения полугрупп 8 и S, которое делила бы полугруппа S, однако справедливо, что S всегда делит одно полупрямое произведение полугрупп F ( S, S) и S, а именно их узловое произведение. [10]
Из соотношения (2.7) вытекает, что действие a на G X А X В приводится к треугольной форме. Это позволяет надеяться, что RT ( M) можно представить в виде узлового произведения ( см. определение 1.4 в гл. Следующее утверждение имеет большое значение для двух последующих глав. [11]
Обратное утверждение также почти справедливо. Действие последовательности ( /, s), за которой идет последовательность ( /, s), на состояние ( s sf) приводит к [ sf / ( sj / ( s), s s J, поэтому входные последовательности должны перемножаться, как в узловом произведении. Получаем следующий важный результат. [12]
St - группа и единица группы St действует как тождественное преобразование на множество Xt), то ( Х2, 52) I ( Хъ 8г) будет группой преобразований. Так как элементы из PRIMES - группы, то ( G, G) является группой преобразований. Если G-группа и U3 - комбинаторная полугруппа, то мы можем собрать вместе соседние однотипные элементы в формуле (1.1) и получить ( S1, 5), делящую узловое произведение полугрупп преобразований так, чтобы в нем группы преобразований чередовались с комбинаторными полугруппами преобразований. [13]