Cтраница 2
Остановимся еще на случае, когда элемент группы HZ ( G, A), соответствующий расширению, - нулевой. Например, группа движений плоскости является полупрямым произведением группы параллельных переносов и группы вращений, а в качестве дополнения группы параллельных переносов можно выбрать группу вращений вокруг какой-нибудь фиксированной точки. Насколько однозначно в общем случае определяется дополнение в распадающемся расширении. [16]
Нетрудно понять, что группу 21 ( G) можно вложить в сплетение группы Г и группы подстановок S. Таким образом, исходя из мономиального представления, мы вложим группу 21 ( G) в полупрямое произведение группы Г1 и группы S. [17]
Определим группу подстановок G множества P M N, которая называется подстановочным сплетением групп А и В. Абстрактно эта группа G выглядит как полупрямое произведение базисной группы Л ЦЛ - прямого произведения групп Ап nN, изоморфных А, на группу В, элементы которой действуют на А как подстановки индексов. [18]
Определим группу подстановок G множества Р МХЛГ, которая называется подстановочным сплетением групп А и В. Абстрактно эта группа G выглядит как полупрямое произведение базисной группы Л ЦЛ - прямого произведения групп An, n N, изоморфных А, на группу В, элементы которой действуют на А как подстановки индексов. [19]
Пусть Г - свободная от кручения нильпотентная группа с конечным числом образующих и 1 ( Г) - та единственная односвязная нильпотентная группа Лиу которая содержит Г в качестве равномерной дискретной подгруппы. Аусландер изучал односвязные разрешимые группы Ли, содержащие Г в качестве равномерной дискретной подгруппы. Оказалось, что всякая такая группа содержится в полупрямом произведении группы gft ( Г) и некоторой компактной группы ее автоморфизмов. При некоторых условиях две односвязные разрешимые группы Ли, содержащие Г в качестве равномерной дискретной подгруппы, ока зываются изоморфными. [20]