Cтраница 1
Произведения-пересечения х - / у из § 8.1 обобщают соответствующее понятие, введенное Серром ( [ Serre 4 ], V. [1]
Vt - произведения-пересечения, построенные в предыдущем разделе. [2]
Отмеченными многообразиями этого произведения-пересечения являются неприводимые компоненты дивизора D, а также точки из АГ В. [3]
Тот факт, что произведения-пересечения коммутируют с классами Чженя, является формальным следствием установленных свойств. [4]
В частности, определение произведения-пересечения в примере 8.3.12 не зависит от представления многообразия как факторпростран-ства. Кажется правдоподобным, что это же верно для тонких произведений-пересечений и, следовательно, для рациональных индексов пересечения. [5]
Разложение нормального конуса на неприводимые компоненты определяет разложение произведения-пересечения. Глава 11 включает инфинитезималь-ную конструкцию Лазарсфельда классов пересечений и его доказательство совпадения предыдущего разложения пересечения с разложением, получаемым динамическим методом в духе Севери. [6]
Мы называем равенство Х - V Е тюи каноническим разложением произведения-пересечения. [7]
Для схем, гладких над кольцом целых алгебраических чисел, Араке-лов ( [ Аракелов 1 ]) предложил определение произведения-пересечения, распространенное и на бесконечные простые точки, что очень подходит для применений к теории чисел, ср. Такое кольцо должно сюръективно отображаться на кольцо, построенное в § 20.2. Аракелов предположил также, что в этом контексте должна выполняться теорема Римана - Роха. Недавние продвижения в этом направлении были сообщены Фалтингсом и Шпиро. [8]
Если 5 гладкая над основным полем, то канонический гомоморфизм A ( Y - S) в A Y - изоморфизм. С другой стороны, если известно, чтог это изоморфизм и Y гладко над S, то At Y А Y имеет произведения-пересечения ( ср. [9]
Строится семейство вложений X - Yt, параметризованное точками t Р1, такое, что вложение для t 0 ( а на самом деле для всех t оо) совпадает с заданным вложением X с Y, а при t оо совпадает с вложением X в нормальный конус CxY в качестве нулевого сечения. Существование такой деформации вместе с принципом непрерывности, утверждающим, что произведения-пересечения хорошо варьируются в семействах, объясняет важную роль нормального конуса в построении произведений-пересечений. [10]
Чтобы теория пересечений была полезной, мало построить кольцо классов циклов на неособом многообразии. Так, если А и В - подмногообразия неособого многообразия X, то произведение-пересечение А В должно быть классом эквивалентности алгебраических циклов, тесно связанных с геометрией взаимного расположения подмногообразий А П В, А и В в X. Наиболее известны два крайних случая. & т АГ В) dimA dimB - - дшлХ, TO А - В является линейной комбинацией неприводимых компонент А Г В с кратностями пересечений в качестве коэффициентов. В другом крайнем случае, когда А - В - неособое подмногообразие, формула самопересечения представляет А В как старший класс Чженя нормального пучка подмногообразия А в X. В обоих случаях А В представляется циклом на А Л В, определенным с точностью до рациональной эквивалентности на А П В. Одним из следствий развиваемой ниже теории является построение произведения-пересечения А В как класса циклов на А П В и формулы для вычисления А В, независимо от размерностей компонент А П В. Такие классы мы называем тонкими произведениями. Аналогично устанавливаются другие формулы для пересечений, такие, как формулы Джамбелли - Тома - Портеуса для множества точек вырождения гомоморфизма векторных расслоений, которые отражают геометрию этого множества и охватывают случаи его избыточной размерности. [11]