Cтраница 1
Пространство постоянной положительной кривизны при п - 2 по своей геометрии не отличается от евклидовой сферы, а при п 2 дает своеобразное развитие сферической геометрии, которое мы теперь называем Римановой геометрией в узком значении этого слова. [1]
Метрика пространства постоянной положительной кривизны соответствует, как известно, геометрии на поверхности гиперсферы в четырехмерном евклидовом пространстве. Сделаем предварительно некоторые общие замечания по поводу этих функций. [2]
Метрика пространства постоянной положительной кривизны соответствует, как известно, геометрии на поверхности гиперсферы в четырехмерном эвклидовом пространстве. Сделаем предварительно некоторые общие замечания по поводу этих функций. [3]
Кривые в пространстве постоянной положительной кривизны. [4]
Метрика ( 3) отвечает пространству постоянной положительной кривизны. [5]
Тип IX содержит в себе как частный случай пространство постоянной положительной кривизны. Оно получается, если в элементе длины ( 116 2) положить ч аь - баь / 4Х, где А - положительная постоянная. [6]
Такие пространства естественно разбиваются на три категории: пространства постоянной положительной кривизны, их геометрию принято называть эллиптической, пространства постоянной отрицательной кривизны, их геометрию называют гиперболической, наконец, пространства нулевой кривизны, их геометрию называют параболической. [7]
Тип IX содержит в себе как частный случай пространство постоянной положительной кривизны. Оно получается, если в элементе длины (116.2) положить r ] а & / 4А, где А - положительная постоянная. [8]
Как уже было указано, частному случаю - fab V4a2 ab соответствует пространство постоянной положительной кривизны. [9]
О, - 1, величина а - постоянная, имеющая размерность длины. Если k0, то мы имеем дело с обычным евклидовым пространством ( иногда его называют плоским пространством) и х, у, z - обычные декартовы координаты. При k - пространство называют пространством постоянной положительной кривизны, при k - 1 - пространством постоянной отрицательной кривизны. Величину а называют радиусом кривизны пространства, а величину CG k a. Мы отложим рассмотрение геометрических свойств этих пространств до следующих параграфов. [10]
Риманова геометрия, основные идеи которой были высказаны Риманом в его известной речи О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии ( 1854) 7, является широкой геометрической схемой пространства переменной кривизны. Пространства Евклида и Лобачевского - частные случаи римановых пространств, соответствующие случаям нулевой кривизны и постоянной отрицательной кривизны. Неевклидовым пространством Римана называют впервые рассмотренное этим ученым пространство постоянной положительной кривизны, обладающее большой аналогией с пространством Лобачевского. [11]
Дифференциально-геометрическое рассмотрение должно быть дополнено в этом пункте проективным. Последнее позволяет для пространств постоянной кривизны сразу ответить на вопрос о свойствах всего пространства в целом. Например, как впервые указал Клейн), для пространства постоянной положительной кривизны имеются две возможности, в зависимости от того, соответствует ли системе значений координат в представлении ( 122) одна или две точки пространства. В первом случае пространство называется сферическим, во втором случае, на основании проективной терминологии - эллиптическим. Оба вида пространств являются хотя и неограниченными, но конечными в римаповом смысле. Общий объем эллиптического пространства, очевидно, в два раза меньше, чем общий объем сферического пространства той же кривизны. Совершенно такие же соотношения имеют место для полной длины ( замкнутых) геодезических линий обоих пространств. Для пространств постоянной отрицательной кривизны число различных возможностей значительно больше. Особенно замечательна поверхность Клиффорда, которая показывает возможность конечного многообразия с нулевой кривизной. Вопрос о геометрии в целом многообразий постоянной кривизны назван Киллингом проблемой клиффорд-клейновских пространственных форм. [12]