Пространство - твистор
Cтраница 1
Пространство проективных изотропных твисторов и есть пространство РЛ9) ( см. рис. 7), которое мы хотели определить. [1]
Нр - пространство бесследовых эрмитовых твисторов, a R учитывает вклад следа. [2]
Ньюмана в значительной степени мотивировала первоначальное определение асимптотического тви-сторного пространства, которое в свою очередь привело к более общему понятию пространства гиперповерхностных твисторов. [3]
Если пространство С Ж достаточно тонкое и гиперповерхность 36 - простран-ственноподобная, то р-кривая пересекается с сопряженной а-кри-вой только в таких точках. Пространства изотропных твисторов обозначаются через ЛР ( №) [ или РЛ ( 2е) ] и je ( 0S) [ или РЛ ( 2е) соответственно. [5]
Тот факт, что Ж является асимптотически плоским, означает, по существу, что после конформной перенормировки метрики пространства-времени М можно присоединить к Jt ( гладким образом) изотропные гиперповерхности У - и У в качестве границы. Так как конструкция пространства гиперповерхностных твисторов конформно инвариантна, она не зависит от конформной перенормировки. Отметим, что конформный спинор кривизны УАВСО обращается в нуль на У, тогда как его первая ковариантная производная на У ( относительно связности, ассоциированной с перенормированной метрикой), вообще говоря, нулю не равна. Действительно, входящее и выходящее гравитационные излучения на пространстве-времени М измеряются именно производными WABCD на У и У соответственно. В частности, если гравитационное излучение на Ж - чисто запаздывающее, то 5Г ( У -) является плоским. [6]
Действительно, переход от произвольного бесследового твистора Еар к твистору, который определяется произвольным ( а не только конформным) вектором Киллинга, есть замена исходного пространства его линейным подпространством. В то же время отображение (6.3.13), переводящее Е р в Аар, есть проекция, отображающая пространство твисторов Еар на факторпространство. [7]
Группа преобразований SUC2, 2) пространства Т сохраняет квадрику W и потому индуцирует линейные преобразования пространства Минковского, переводящие световые прямые в световые прямые и световые конусы в световые конусы. Иначе говоря преобразования из SU ( 2 2) индуцируют конформные преобразования пространства Минковского IM, причем матрицы А, iA SU ( 2, 2) порождают одно и то же преобразование IM. Тем самым мы можем определить пространство твисторов Т как пространство фундаментального представления группы STJ ( 2, 2), 4-кратной накрывающей связной компоненты единицы С. [8]
Обозначение PN аналогично тому, которое использовалось в гл. Элементы пространства PN - изотропные твисторы, заданные с точностью до множителя, а поэтому ( если не считать, что PN содержит еще и бесконечно удаленные лучи, см. гл. PN можно рассматривать как пространство лучей в М - Но определение непроективного пространства N изотропных твисторов содержит дополнительные требования к спинору ПАГ в каждой точке луча: его флагшток должен быть касательным к лучу, а весь спинор должен переноситься вдоль луча параллельно. Положив оАпл, мы получаем определенного рода ( аффинную) параметризацию ( scaling) луча ц и базовое полотнище флага, которые применялись ранее в данной главе. Строго говоря, спинор ПА относится к пространству N ( или N) изотропных [ о ] - твисторов. Нештрихованный же спинор ОА относится к пространству N. [9]
Заметим, что в пространстве М пространство Ta ( ff) может быть отождествлено со стандартным твисторным пространством. Если предположить, что поверхность 9 соответствует нормальной ситуации, когда пространство Та () четырехмерно. Но в случае генериче-ских ЗР и Ж пространства твисторов двумерной поверхности ( произвольной валентности), которые мы получаем, представляют собой некоторый совершенно новый объект исследования. [10]
 |
Равенство нулю локальной твисторной кривизны означает, что. [11] |
Таким образом, пространство локальных тви-сторов в точке О находится во взаимно-однозначном соответствии с пространством глобальных твисторов на У. Всякой парой спиноров ( оИ, ял) в точке О определяется глобальный твистор на У, и наоборот. Поскольку соответствующий локальный твистор в точке Р будет изотропным и это свойство сохраняется при параллельном переносе локального твистора, твистор Z05 будет также изотропным и в точке О. Вновь вспоминая, что условие ортогональности инвариантно при параллельном переносе локальных твисторов [ формула (6.9.15) ], мы заключаем, что XaZa 0 в точке О. Таким образом, совокупность всех глобальных твисторов, инцидентных точке Р, может быть представлена в точке О как комплексно-двумерное пространство локальных твисторов в точке О, которые изотропны и взаимно ортогональны. [12]
Страницы: 1