Cтраница 1
Пространство X счетного типа обладает Б.р. ЬХ с наростом размерности гс тогда и только тогда, когда в X существует структура окаймлений кратности: ге 1, обладающая базисным свойством. [1]
Всякое суслинское пространство Е есть пространство счетного типа. [2]
Ясно, что всякое подпространство метризуемого пространства счетного типа также есть пространство счетного типа. [3]
В самом деле, всякое подпространство метризуемого пространства счетного типа есть метризуемоо пространство счетного типа и каждое замкнутое подпространство полного пространства полно ( гл. Произведение всякого счетного семейства метризуемых пространств счетного тина есть метризуомое пространство счетного типа ( § 2, п 8) и произведение всякого счетного семейства нолных метрических пространств есть полное метрическое пространство относительно некоторого расстояния, согласующегося с его топологией ( гл. [4]
Обратно, если метризуемое пространство f u ( X, R) есть пространство счетного типа, то X метризуемо. [5]
R), наделенное топологией равномерной сходимости ( в которой оно метризуемо), было пространством счетного типа, необходимо и достаточно, чтобы Е было метриауемо. [6]
X; У) всех непрерывных отображений X в Y, наделенное топологией компактной сходимости, есть метри-зуемое пространство счетного типа. [7]
В самом деле, всякое подпространство метризуемого пространства счетного типа есть метризуемоо пространство счетного типа и каждое замкнутое подпространство полного пространства полно ( гл. Произведение всякого счетного семейства метризуемых пространств счетного тина есть метризуомое пространство счетного типа ( § 2, п 8) и произведение всякого счетного семейства нолных метрических пространств есть полное метрическое пространство относительно некоторого расстояния, согласующегося с его топологией ( гл. [8]
X в Y, имеющих предел па бесконечности, наделенное топологией равномерной сходимости на X, есть метриацсмое пространство счетного типа. [9]
Пусть Е - локально компактное пространство, счетное в бесконечности. Для того чтобы пространство 4 ( Е, R), наделенное топологией компактной сходимости ( в которой оно метризуемо), было пространством счетного типа, необходимо и достаточно, чтобы Е было метриауемо. [10]
Рассмотрим опять случай идеального пространства X, причем мы будем, как и в 1.6, предполагать, что мера обладает свойством прямой суммы. Так как в случае a - конечной меры пространство S ( Т, Y Ц) и все идеалы в нем суть / ( - пространства счетного типа, то, как отмечено в 2.2, классы порядково непрерывных и порядково a - непрерывных функционалов совпадают; таким образом, в главе VI мы действительно имели дело с порядково непрерывными функционалами. [11]
Это позволяет в принципе свести изучение нормальных пространств с первой аксиомой счетности к изучению бикомпактов. ЬХ нарост ЬХ Х был финально компактен. С точки зрения расположенности в Б.р. двойственными к пространствам счетного типа являются финально компактные пространства. ЬХ обладает следующим свойством: для всякого бикомпакта ФсЬХ Х в наросте существует содержащий его бикомпакт F, имеющий счетный характер в ЬХ. [12]