Cтраница 1
Пространства сеточных функций обычно возникают при аппроксимации того или иного пространства функций непрерывного аргумента. [1]
Спроектируем решение и на пространство сеточных функций, получим некоторую сеточную функцию и. Когда оператор дифференциальной задачи L заменяется оператором разностной задачи Lh, то появляется погрешность аппроксимации, от величины которой зависят свойства разностной схемы и точность полученного разностного решения. Если норма погрешности аппроксимации нин - ( Lu) h II при т, h - 0 равна 0 ( тт, hp, то разностная задача аппроксимирует дифференциальную с порядком т по временному шагу тис порядкомр по пространственному шагу. [2]
В этом случае оператор А отображает пространство сеточных функций Н - QA - i в себя: А: Н - Я. [3]
Если аппроксимация эволюционного уравнения исследуется в пространствах сеточных функций, определенных на Q / j x QT, то и определение устойчивости часто полезно давать в терминах тех же пространств. [4]
РАЗНОСТНЫЙ ОПЕРАТОР - оператор, действующий в пространстве сеточных функций. Разностную схему можно рассматривать как операторное уравнение с операторами, действующими в нек-ром функциональном пространстве, а именно в пространство сеточных функции. [5]
Дифференциальный оператор заменяется разностным оператором, действующим в пространстве сеточных функций. [6]
В заключение отметим, что если аппроксимация эволюционного уравнения исследуется в пространствах сеточных функций, определенных на DAxDT, то и определение устойчивости полезно давать в терминах тех же пространств. [7]
После того как были определены сеточные области Q / 2 и Q /, обозначим через lll h и - / г пространства сеточных функций, заданных на этих областях соответственно. Метрику примем равномерную, как в этих двух пространствах, так и в пространстве Л, которое мы сейчас определим. [8]
Лл - линейный оператор, зависящий от шага сетки Л, фл е Фл, lh Fh, а Фл и FA - пространства сеточных функций. [9]
В случае метода сеток для дифференциального уравнения вида (5.78) за h можно принять вектор шагов сетки; операторные уравнения вида (5.79) тогда становятся разностными системами, Xh - пространствами сеточных функций щ, определенных на множествах Qf, узлов сетки. [10]
Здесь Ah, ah - линейные операторы, зависящие от шага сетки / г, фА G Ф / г, fh G F / г, g e G / г, а Ф / г, F /, G /, - пространства вещественных сеточных функций. [11]
Мы всюду рассматриваем только конечномерное пространство сеточных функций. Заменяя пространство Н if ( x) функций непрерывного аргумента и исходную задачу пространством HN сеточных функций и дискретной аппроксимацией исходной задачи, мы должны быть уверены, что будем лучше приближаться к решению исходной задачи при увеличении числа узлов. [12]
Пусть у - сеточная функция, являющаяся решением разностной задачи, a Uh - проекция в пространство сеточных функций решения соответствующей дифференциальной задачи. [13]
Существуют другие естественные системы определений основных понятий, при которых аппроксимация и устойчивость обеспечивают сходимость. В теории Лакса рассматриваются разностные схемы для нестационарных задач, причем предполагается, что эти разностные схемы действуют не в пространстве сеточных функций, а в том же функциональном пространстве, что и дифференциальное уравнение. При этом предположении доказывается, что для аппроксимирующей разностной схемы устойчивость и сходимость имеют место одновременно. [14]
Поэтому и сами пространства 11 и А / г обычно строятся как сеточные аналоги известных функциональных пространств ( напр. Примеры выбора таких сеточных п ространств, различный приемы изучения У. Тогда теоремы устойчивости типа ( 3) нужны лини, для получения оценок ( 4) и изучение последних при П / г и / /, совпадающих с евклидовым пространством сеточных функций, часто заменяется традиционным нлгебрапч. [15]