Cтраница 1
Пространство Q рациональных чисел, как мы видели, не является полным пространством. [1]
Поэтому обычная топология пространства рациональных чисел не порождается никакой полной метрикой. [2]
Например, пространство всех действительных чисел является пополнением пространства рациональных чисел. [3]
Докажите, что каждое плотное в себе счетное метризуемое пространство гомеоморфно пространству рациональных чисел. [4]
Докажите, что не существует приемлемой топологии на пространстве RQ, где Q - пространство рациональных чисел ( ср. [5]
Метрические пространства, в которых любая фундаментальная последовательность сходится, называют полными. Пространство рациональных чисел не является полным. Пространство Ki всех действительных чисел полное. [6]
Нетрудно видеть, что если отбросить требование замкнутости множества Х0, то приведенное утверждение уже не будет верно. Достаточно взять, например, за X пространство всех вещественных чисел, а за Х0 - содержащееся в нем пространство рациональных чисел. [7]
Замечание 4.4. Свойство полноты имеет фундаментальное значение для многих рассуждений, проводимых в последующих главах. Пространство, не являющееся полным, может быть пополнено так называемыми особыми элементами так, чтобы оно стало полным. Эта процедура аналогична процедуре пополнения пространства рациональных чисел иррациональными числами. Однако в общем случае трудно определить характер этих особых элементов. Довольно простой и интуитивно ясный случай пополнения метрического пространства мы встретим в гл. [8]
Ясно, что эта топология - хаусдорфова и индуцирует на R топологию числовой прямой, причем R - всюду плотное подпространство в К. Итак, расширенная числовая прямая R является бикомпактным хаусдорфоиым расширением ( с двуточечным наростом) пространства R. Очевидно, далее, что R служит бикомпактным хаус-дорфовым расширением пространства Q рациональных чисел, а также пространства иррациональных чисел. [9]