Cтраница 1
Любое векторное пространство, в котором определена операция с этими свойствами, называется алгеброй Ли. Обратное также верно: каждая алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой группы Ли. Между группами Ли и их алгебрами Ли существует тесная связь: многие свойства групп находят свои аналоги в свойствах алгебр Ли. Однако алгебра Ли полностью определена, если мы знаем структуру некоторой окрестности единицы группы. [1]
Любому векторному пространству V конечной размерности над полем Я можно сопоставить другое векторное пространство, находящееся с V в специальном отношении двойственности. [2]
В любом векторном пространстве ни одна линейно независимая система векторов не может содержать больше элементов, чем любая система образующих. [3]
В любом векторном пространстве X существует алгебраический базис. [4]
Как в любом векторном пространстве, сложению векторов и умножению их на число ( в данном случае как функционалов) соответствует сложение и умножение на число их координат. [5]
Как было отмечено выше, в любом векторном пространстве начало координат, ассоциирующееся с нулевым вектором, играет особую роль: при всех автоморфизмах пространства нулевой вектор остается на месте. Все векторы станут равноправными ( или эквивалентными) только после расширения общей линейной группы за счет сдвигов ( параллельных переносов) пространства. [6]
Векторное пространство размерности п, которое может служить моделью любого векторного пространства этой размерности, получается следующим образом. Определенные таким способом сложение и умножение на а удовлетворяют всем условиям, с помощью которых вводится понятие векторного пространства. [7]
Теорема Хана - Банаха в аналитической форме справедлива для любого векторного пространства, наделенного некоторой, калибровочной функцией. [8]
Это частный случай общего определения, которое справедливо для любого векторного пространства. [9]
Это действие тоадественно продолжается на A V W для любого векторного пространства W; в нашем контексте W-это слой присоединенного расслоения. В следующей лемме предполагается. W снабжено скалярным произведением. [10]
Мы видели, что трансфинитная индукция позволяет доказать существование базиса в любом векторном пространстве. Продолжая эту линию, можно доказать, что любые два базиса векторного пространства равномощны. Таким образом, понятие размерности как мощности базиса корректно определено и для бесконечномерных векторных пространств. [11]
Предположим теперь, что отображение ср переводит систему образующих в систему образующих. Прежде всего заметим, что система образующих существует в любом векторном пространстве. Но все элементы системы образующих порождают векторное пространство и поэтому не могут принадлежать ни одному истинному подпространству. [12]
Бели два вектора в 3-мерном пространстве перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Это позволяет обобщить понятие перпендикулярности, распространив его на векторы в любом векторном пространстве, в к-ром определено скалярное произведение, обладающее обычными свойствами, назвав два вектора ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. [13]
Таким образом, в этом случае откладывание вектора с от точки а означает переход к точке а - ( - с. Мы видим, что при такой трактовке векторов и точек аксиома Vi выполняется в любом векторном пространстве. [14]
В таких случаях множества ( наделенные операциями объединения и пересечения) принято называть структурами. По доказанному все подмножества любого множества, все подпространства любого векторного пространства и все подгруппы любой группы образуют структуры. [15]